Proširivanje, skraćivanje i upoređivanje razlomaka — koje odeljenje je bolje rešilo zadatak?
Proširivanje razlomka (brojilac i imenilac pomnožimo istim brojem, vrednost se ne menja), skraćivanje (delimo istim brojem), skraćivanje sa NZD i nesvodljiv razlomak, upoređivanje razlomaka sa jednakim imeniocima i sa jednakim brojiocima, dovođenje na zajednički imenilac (NZS imenilaca) i na zajednički brojilac, unakrsni proizvodi jednakih razlomaka.
Video
Pojmovi
- Isti deo, drugi zapis
- U V-1 zadatak je rešilo $\frac{18}{24}$ odeljenja, a u V-2 $\frac{15}{20}$. Ako 24 učenika podelimo u 6 grupa po 4, u svakoj grupi 3 su rešila — to su tri četvrtine. I u V-2 je to 5 grupa po 4, u svakoj po 3 rešena: opet tri četvrtine. Dakle $\frac{18}{24} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ — odeljenja su jednako uspešna.
- Skraćivanje
- Ako su brojilac i imenilac deljivi istim brojem većim od 1, oba podelimo tim brojem. Delimo i broj delova i broj uzetih delova — delovi postaju veći, a uzimamo ih manje, pa je deo celine isti: $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$. Može i postepeno: prvo sa 2 ($\frac{9}{12}$), pa sa 3 ($\frac{3}{4}$).
- Nesvodljiv razlomak
- Najbrže skraćujemo najvećim zajedničkim deliocem: $\mathrm{NZD}(18, 24) = 6$. Posle toga brojilac i imenilac su uzajamno prosti i dalje se ne može skratiti — takav razlomak je nesvodljiv. $\frac{3}{4}$ je nesvodljiv, a $\frac{9}{12}$ nije.
- Proširivanje
- Obrnuto, brojilac i imenilac možemo pomnožiti istim prirodnim brojem: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$. To je proširivanje — vrednost je ista, samo su delovi sitniji (dvadesetine umesto četvrtina), a uzimamo ih više.
- Isti imenilac ili isti brojilac
- Ako dva razlomka imaju isti imenilac, veći je onaj sa većim brojiocem: $\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$ — delovi su iste veličine, a uzeli smo ih više. Ako imaju isti brojilac, veći je onaj sa manjim imeniocem: $\frac{5}{7} > \frac{5}{12}$ — uzeli smo isto delova, ali kad celinu delimo na manje delova, svaki deo je veći.
- Zajednički imenilac
- Kad su i brojioci i imenioci različiti, proširimo razlomke tako da dobiju isti imenilac — obično najmanji zajednički sadržalac imenilaca. Za $\frac{3}{4}$ i $\frac{7}{10}$: $\mathrm{NZS}(4, 10) = 20$, pa je $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ i $\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$. Zato je $\frac{3}{4} > \frac{7}{10}$.
- Zajednički brojilac
- Ponekad je lakše izjednačiti brojioce. Za $\frac{2}{9}$ i $\frac{3}{13}$: $\frac{2}{9} = \frac{6}{27}$ i $\frac{3}{13} = \frac{6}{26}$. Brojioci su isti, a 26 < 27, pa je $\frac{3}{13} > \frac{2}{9}$.
- Provera unakrsnim množenjem
- Dva razlomka $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ su jednaka tačno onda kada su jednaki proizvodi „unakrst“: $a \cdot d = b \cdot c$. Za odeljenja: $18 \cdot 20 = 360$ i $24 \cdot 15 = 360$ — razlomci su jednaki.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $k$ | broj kojim proširujemo | — |
| $m$ | zajednički delilac brojioca i imenioca | — |
Vrednost razlomka se ne menja. Skraćivanjem sa NZD dobija se nesvodljiv razlomak.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | brojioci (a ≠ 0) | — |
| $m, n$ | imenioci | — |
Inače razlomke dovedemo na zajednički imenilac ili brojilac.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta znači proširiti razlomak?
2. Koji razlomak je jednak $\frac{2}{7}$?
3. Šta je nesvodljiv razlomak?
4. Kada skratimo $\frac{14}{35}$ do kraja, šta dobijamo?
5. Koji razlomak je veći: $\frac{5}{11}$ ili $\frac{8}{11}$?
6. Koji razlomak je veći: $\frac{4}{7}$ ili $\frac{4}{9}$?
7. Koji je najmanji zajednički imenilac za $\frac{1}{4}$ i $\frac{5}{6}$?
8. Šta se dešava sa vrednošću razlomka kad ga skratimo?
9. Ako je $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, šta uvek važi?
10. Čime je najbolje skratiti $\frac{30}{54}$ da se odmah dobije nesvodljiv razlomak?
Rešeni zadaci
Skrati $\frac{48}{72}$ do nesvodljivog razlomka.
-
$48 = 2^4 \cdot 3,\quad 72 = 2^3 \cdot 3^2$Rastavimo na proste činioce.
-
$\mathrm{NZD}(48, 72) = 2^3 \cdot 3 = 24$Zajednički činioci.
-
$\frac{48}{72} = \frac{48 : 24}{72 : 24} = \frac{2}{3}$Podelimo oba sa NZD.
Uporedi $\frac{7}{10}$ i $\frac{11}{15}$.
-
$\mathrm{NZS}(10, 15) = 30$Najmanji zajednički imenilac.
-
$\frac{7}{10} = \frac{21}{30},\quad \frac{11}{15} = \frac{22}{30}$Proširimo sa 3, odnosno sa 2.
Poređaj od najmanjeg: $\frac{5}{8}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{5}{6}$.
-
Brojioci su isti (5).Veći je onaj sa manjim imeniocem.
-
$\frac{5}{12} < \frac{5}{8} < \frac{5}{6}$Imenioci: 12 > 8 > 6.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Skrati razlomak $\frac{80}{128}$ tako da dobiješ nesvodljiv razlomak.
Koji je razlomak veći: $\frac{2}{5}$ ili $\frac{3}{11}$? Upiši veći od ta dva razlomka (u obliku brojilac/imenilac).
Čokolada ima ukupno 30 kockica. Luka je pojeo $\frac{1}{2}$ čokolade. Koliko kockica je pojeo?
Koji broj treba upisati umesto zvezdice da bi bilo $\frac{4}{9} = \frac{*}{63}$?
Koji od ovih razlomaka je nesvodljiv?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 24. Decimalni zapis razlomka — zašto na kesi brašna piše 0,625 kg?