Prosti i složeni brojevi — koji broj kockica ne može da se složi u pravougaonik?

Prosti brojevi (tačno dva delioca) i složeni brojevi (više od dva delioca), broj 1 nije ni prost ni složen, pravi delioci, složen broj kao proizvod dva prava delioca, kako proveriti da li je broj prost (deljenje prostim brojevima), Eratostenovo sito, prostih brojeva ima beskonačno mnogo, primena u šifrovanju.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/131

Video

Luka slaže kockice u pravougaonike sa bar dva reda i bar dve kolone. Od 18 kockica složi dva različita pravougaonika, a od 19 — nijedan: kako god pokuša, ostane mu jedan red. Zašto neki brojevi „neće“ u pravougaonik? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Kockice u pravougaonik: Od 18 kockica Luka može da složi pravougaonik sa 2 reda po 9 kockica ili sa 3 reda po 6 (okrenuti, $9 \cdot 2$ i $6 \cdot 3$, isti su pravougaonici). Od 19 kockica ne može nijedan sa bar dva reda: $19$ se kao proizvod piše samo kao $1 \cdot 19$. Pravougaonik sa $a$ redova postoji tačno onda kad je $a$ delilac broja kockica.
Redovi i kolone su pravi delioci: Broj redova i broj kolona Lukinog pravougaonika su delioci broja kockica, ali nisu ni 1 ni sam taj broj. Takve delioce zovemo pravi delioci. Pravi delioci broja 18 su 2, 3, 6 i 9, i zaista $18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$: svaki broj koji ima prave delioce može da se napiše kao proizvod dva svoja prava delioca.
Prost i složen broj: Broj koji ima tačno dva delioca — broj 1 i samog sebe — zove se prost broj; takvi su 19, 29, 41. Prost broj nema nijedan pravi delilac i ne može u pravougaonik. Broj koji ima više od dva delioca je složen; takvi su 18, 21, 91. Broj 1 ima samo jedan delilac, pa nije ni prost ni složen. Broj 2 je jedini paran prost broj — svaki drugi paran broj je deljiv i sa 2.
Da li je broj prost?: Delimo ga redom prostim brojevima 2, 3, 5, 7, 11, … Ako se neko deljenje izvrši bez ostatka, broj je složen. Ne moramo ići do kraja: dovoljno je probati proste brojeve čiji je proizvod sa samim sobom (kvadrat) manji ili jednak našem broju. Za 91: $7 \cdot 7 = 49 \le 91$, pa probamo i 7 — i $91 = 7 \cdot 13$, pa je 91 složen, iako „izgleda“ prosto. Za 97 probamo 2, 3, 5 i 7; već $11 \cdot 11 = 121 > 97$, a nijedan od njih ne deli 97 — on je prost.
Eratostenovo sito: Pre više od dve hiljade godina Eratosten je smislio kako da sve proste brojeve do nekog broja „prosejemo“ kao brašno kroz sito. Napišemo brojeve od 2 do, na primer, 60. Zaokružimo 2 i precrtamo sve njegove dalje sadržaoce. Prvi sledeći neprecrtani broj zaokružimo i precrtamo njegove sadržaoce koji još nisu precrtani — i tako redom. Staje se kad kvadrat sledećeg zaokruženog broja pređe poslednji broj na spisku (do 60: $11 \cdot 11 = 121 > 60$); tada su svi neprecrtani brojevi prosti.
Bez kraja i sa tajnom: Niz prostih brojeva nikad se ne završava: koliko god velik prost broj pronašli, postoji još veći. Danas se prosti brojevi koriste svaki put kad se poruke ili plaćanja preko interneta „zaključaju“ tajnim ključem — što su prosti brojevi u ključu veći, teže ga je otključati.

Formule

Prost broj

p \text{ je prost} \;\Leftrightarrow\; \text{delioci od } p \text{ su samo } 1 \text{ i } p

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$p$	prirodan broj veći od 1	—

Broj 1 nije ni prost ni složen.

Složen broj

n = a \cdot b, \quad 1 < a < n,\ 1 < b < n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	pravi delioci broja n	—

Složen broj je proizvod dva prava delioca.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko delilaca ima prost broj?

2. Šta je broj 1?

3. Koji od ovih brojeva je prost?

4. Koji od ovih brojeva je složen?

5. Koji su pravi delioci broja 10?

6. Koliko ima prostih brojeva?

7. Koji broj prvi zaokružujemo u Eratostenovom situ?

8. Šta u Eratostenovom situ radimo kad zaokružimo broj 3?

9. Kako se uvek može napisati složen broj?

10. Luka ima 37 kockica. Može li da ih složi u pravougaonik sa bar dva reda i dve kolone?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Luka ima 119 kockica. Može li da ih složi u pravougaonik sa bar dva reda i bar dve kolone?

119 nije deljiv sa 2 (neparan), sa 3 ($1 + 1 + 9 = 11$) ni sa 5.

Probamo proste brojeve redom.
$7 \cdot 7 = 49 \le 119$, a $119 = 7 \cdot 17$

Sa 7 se deli bez ostatka.

Odgovor: Može: 7 redova po 17 kockica — 119 je složen.

Zadatak 2

Koliko različitih pravougaonika (sa bar dva reda i dve kolone; okrenut se ne računa posebno) može da se složi od 21 kockice, a koliko od 23?

$21 = 3 \cdot 7$

Pravi delioci broja 21 su 3 i 7 — to je jedan pravougaonik (3 · 7 i 7 · 3 su isti).
$23 = 1 \cdot 23$

23 je prost — nema pravih delilaca.

Odgovor: Od 21 kockice jedan pravougaonik, od 23 nijedan.

Zadatak 3

Mina je radila Eratostenovo sito do 40, ali je zaboravila da precrta sadržaoce broja 3. Koji neprecrtani brojevi nisu prosti?

Precrtani su parni brojevi i sadržaoci brojeva 5 i 7.

Ostali su neparni brojevi koji nisu deljivi ni sa 5 ni sa 7.
Među njima su 9, 27, 33 i 39 deljivi sa 3.

To su složeni brojevi koji su „prošli kroz sito“.

Odgovor: 9, 27, 33 i 39.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Koji je najmanji delilac broja 221 koji je veći od 1? (Ako je broj prost, odgovor je sam taj broj.)

Zadatak 2

Koliko pravih delilaca ima broj 114?

Zadatak 3

Mina tvrdi: „Zbir dva prosta broja je uvek paran.“ Da li je u pravu?

Zadatak 4

U Eratostenovom situ do 100 već smo precrtali sadržaoce brojeva 2, 3 i 5. Koji broj sledeći zaokružujemo?

Zadatak 5

Koji od ovih brojeva ima tačno tri prava delioca?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 18. Rastavljanje na proste činioce — od čega je „sastavljen“ broj?