Rastavljanje na proste činioce — od čega je „sastavljen“ broj?

Svaki prirodan broj veći od 1 je prost ili proizvod prostih brojeva, rastavljanje na proste činioce, isti rezultat bez obzira na redosled, postupak deljenja sa uspravnom crtom, stepen kao kraći zapis (kvadrat, kub, izložilac).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/132

Video

Mina otvara babušku — u njoj je manja lutka, u njoj još manja, sve dok se ne dođe do najmanje, koja se ne otvara. I brojevi se tako „otvaraju“: 60 je 6 puta 10, 6 je 2 puta 3, a 10 je 2 puta 5. Do kojih brojeva na kraju stignemo i zašto dalje ne može? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Brojevi kao babuške: Složen broj možemo da napišemo kao proizvod dva manja broja, a ako su i oni složeni, i njih „otvorimo“: $60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5$. Stajemo kad ostanu samo prosti brojevi — oni se dalje ne otvaraju, kao najmanja babuška. Tako svaki složen broj na kraju postane proizvod samih prostih brojeva, njegovih prostih činilaca. Za prost broj taj proizvod ima samo jedan činilac — sam taj broj ($13 = 13$), a broj 1 se ne rastavlja.
Rastavljanje uz uspravnu crtu: Kad je broj veći, radimo uredno. Broj pišemo levo od uspravne crte, a desno najmanji prost broj kojim se on deli; ispod broja upišemo količnik. Isto ponavljamo sa količnikom — probamo 2, pa 3, pa 5, 7, … — sve dok levo ne ostane 1. Za 840: $840 : 2 = 420$, $420 : 2 = 210$, $210 : 2 = 105$, $105 : 3 = 35$, $35 : 5 = 7$, $7 : 7 = 1$. Brojevi desno od crte su prosti činioci: $840 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
Svaki put isto: Kojim god putem krenemo, na kraju dobijemo iste proste činioce: $72 = 8 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$, a i $72 = 6 \cdot 12 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$. Menja se samo redosled, a on u proizvodu nije važan; dogovor je da ih pišemo od najmanjeg ka najvećem. Zapis $2 \cdot 30$ ili $4 \cdot 15$ nije rastavljanje na proste činioce, jer 30, 4 i 15 nisu prosti.
Kraći zapis — stepen: Kad se isti prost činilac ponavlja, proizvod zapisujemo kraće: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Broj dole (2) je osnova, a mali broj gore (3) je izložilac — kaže koliko jednakih činilaca množimo. Tako je $840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ i $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Zapis $7^2$ čitamo „sedam na kvadrat“ ili „na drugi“, $2^3$ „dva na kub“ ili „na treći“, a dalje „na četvrti“, „na peti“ … Pazi: $2^3 = 8$, a ne 6.

Formule

Stepen

a^k = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{k\ \text{činilaca}}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	osnova	—
$k$	izložilac — broj jednakih činilaca	—

Na primer, 5³ = 5 · 5 · 5 = 125.

Rastavljanje

840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$2, 3, 5, 7$	prosti činioci broja 840	—

Prosti činioci se pišu od najmanjeg ka najvećem.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta znači rastaviti broj na proste činioce?

2. Šta je $5^3$?

3. Kako se čita $7^2$?

4. Koji zapis je rastavljanje broja 12 na proste činioce?

5. Koliko je $2^5$?

6. Šta pišemo desno od uspravne crte kad rastavljamo broj?

7. Kada se završava rastavljanje uz uspravnu crtu?

8. Da li rezultat rastavljanja zavisi od redosleda kojim delimo?

9. Koji broj je $2^2 \cdot 5^2$?

10. Šta pokazuje izložilac 4 u zapisu $3^4$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Rastavi broj 360 na proste činioce.

$360 : 2 = 180,\quad 180 : 2 = 90,\quad 90 : 2 = 45$

Delimo sa 2 dok može.
$45 : 3 = 15,\quad 15 : 3 = 5,\quad 5 : 5 = 1$

Zatim sa 3, pa sa 5.
$360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

Ponovljene činioce pišemo kao stepen.

Odgovor: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

Zadatak 2

Koji broj je jednak $2^4 \cdot 3$?

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Izložilac 4: četiri jednaka činioca 2.
$16 \cdot 3 = 48$

Pomnožimo sa preostalim činiocem.

Odgovor: 48.

Zadatak 3

Da li je $2 \cdot 3 \cdot 4$ rastavljanje broja 24 na proste činioce?

Broj 4 nije prost: $4 = 2 \cdot 2$.

Svi činioci moraju biti prosti.
$24 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \cdot 3$

Rastavimo i 4.

Odgovor: Nije — rastavljanje je $2^3 \cdot 3$.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Kada broj 360 rastavimo na proste činioce i zapišemo pomoću stepena, koliki je izložilac prostog činioca 3?

Zadatak 2

Koji broj je jednak $3^{2} \cdot 7^{2}$?

Zadatak 3

Mina je rastavila broj i dobila $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$. Kako se to zapisuje pomoću stepena?

Zadatak 4

Koji od ovih brojeva ima samo jedan različit prost činilac?

Zadatak 5

Luka je rastavio 90 deleći prvo sa 2 i dobio $2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Mina je prvo podelila sa 5. Šta je dobila Mina?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 19. Najveći zajednički delilac — koliko najviše jednakih paketića može da se napravi?