Centralna simetrija — zašto su deca na klackalici uvek jednako daleko od osovine?
Centralnosimetrične tačke (centar je središte duži), centralna simetrija kao preslikavanje i slika tačke, konstrukcija slike lenjirom i šestarom, slika prave i poluprave (paralelna ili ista prava), slika duži (paralelna i jednaka duž), slika figure je podudarna figura, slika kružnice, centralnosimetrične figure i njihov centar simetrije (krug, kvadrat, pravougaonik, neka slova).
Video
Pojmovi
- Klackalica
- Mina sedi na jednom kraju klackalice, u tački $A$, a Luka na drugom, u tački $B$. Osovina $S$ je tačno na sredini daske. Koliko god se klackalica nagne, Mina i Luka su uvek jednako daleko od osovine, sa suprotnih strana: $SA = SB$, a $S$ je između njih. Za takve tačke kažemo da su centralnosimetrične u odnosu na tačku $S$.
- Pola okreta
- Zamisli da celu sliku okreneš za pola kruga oko tačke $S$: Mina dođe tačno na Lukino mesto, a Luka na Minino. Tako svaka tačka $T$ dođe na mesto $T'$ za koje je $S$ središte duži $TT'$. To pravilo zove se centralna simetrija sa centrom $S$, a $T'$ je slika tačke $T$. Ako ponovo okrenemo, $T'$ se vrati u $T$ — slika tačke $T'$ je $T$. Samo se centar $S$ ne pomera.
- Figure koje se poklope same sa sobom
- Neke figure posle pola okreta oko neke svoje tačke izgledaju potpuno isto kao pre — kažemo da su centralnosimetrične. Krug je takav u odnosu na svoj centar. Kvadrat i pravougaonik su takvi u odnosu na tačku u kojoj se seku duži povučene iz svakog ugla u suprotni ugao. Isto važi i za slova S, Z i N. Trougao nije centralnosimetričan: temena bi morala da se slikaju jedno u drugo u parovima, pa bi jedno teme moralo da bude baš centar, a onda bi ostala dva bila sa njim na istoj pravoj — a to više nije trougao.
- Kako se konstruiše slika tačke
- Neka je dat centar $S$ i tačka $K$. Lenjirom povučemo pravu kroz $K$ i $S$ i produžimo je preko $S$. Šestar raširimo od $S$ do $K$, zabodemo iglu u $S$ i na produžetku, sa druge strane, obeležimo tačku $L$. Tada je $SL = SK$, pa je $L$ slika tačke $K$.
- Ništa se ne izobliči
- Pola okreta ne menja veličinu ni oblik: slika duži je duž iste dužine, paralelna sa polaznom; slika trougla je isti takav trougao, samo okrenut. Kažemo da je slika podudarna polaznoj figuri. Prava koja ne prolazi kroz $S$ slika se u pravu paralelnu sa njom, sa druge strane tačke $S$; prava kroz $S$ slika se sama u sebe. Poluprava se uvek slika u polupravu okrenutu na suprotnu stranu: ako leži na pravoj kroz $S$, slika joj je na istoj toj pravoj.
- Slika kružnice
- Kružnica sa centrom $P$ slika se u kružnicu istog poluprečnika. Njen centar je slika tačke $P$, tačka $P'$, pa je $S$ središte duži $PP'$. Ako je $PS = 4$ cm, centri dve kružnice su udaljeni 8 cm.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $S$ | centar simetrije | — |
| $A, B$ | tačka i njena slika | — |
Centar simetrije je središte duži AB.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $K'L'$ | slika duži KL | cm |
Slika figure je podudarna polaznoj figuri.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Mina je na klackalici 2 m levo od osovine. Gde je Luka, na drugom kraju daske?
2. U šta se centralnom simetrijom slika sam centar simetrije?
3. U šta se slika prava koja ne prolazi kroz centar simetrije?
4. Kad se Mina na klackalici podigne za 30 cm, šta se desi sa Lukom?
5. Duž KL duga je 5 cm. Koliko je duga njena slika u centralnoj simetriji?
6. Koja od ovih figura je centralnosimetrična?
7. Koja tačka je centar simetrije kruga?
8. U šta se slika kružnica poluprečnika 3 cm?
9. Šta se dešava sa veličinom i oblikom figure posle centralne simetrije?
10. Tačka L je slika tačke K u centralnoj simetriji. Šta je slika tačke L?
Rešeni zadaci
Kako se lenjirom i šestarom konstruiše slika tačke K u odnosu na centar S?
-
Povučemo pravu kroz K i S i produžimo je preko S.Slika je na toj pravoj, sa druge strane tačke S.
-
Šestar raširimo od S do K i prenesemo taj otvor od S na produžetak.Dobijamo tačku L, i SL = SK.
Koja od slova N, E, Z i T su centralnosimetrična?
-
N i Z posle pola okreta izgledaju potpuno isto.Centar je u sredini kose crte.
-
E i T posle pola okreta su „naglavačke“ i ne poklapaju se sa sobom.Nemaju centar simetrije.
Pravougaonik sa stranicama 6 cm i 4 cm preslikan je centralnom simetrijom. Koliki je obim slike?
-
Slika je podudarna polaznom pravougaoniku.Stranice slike su takođe 6 cm i 4 cm.
-
$6 + 4 + 6 + 4 = 20$Obim je zbir dužina stranica.
Da li je trougao centralnosimetričan?
-
Kad bi bio, svako teme bi se slikalo u teme. Temena bi išla u parove, a jedno bi moralo da ostane samo — to može samo centar.Tri temena ne mogu sva da se spare.
-
Onda bi druga dva temena bila centralnosimetrična u odnosu na to teme, pa bi sva tri bila na jednoj pravoj.Tri tačke na jednoj pravoj ne čine trougao.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Lenjir je položen uz pravu. Tačka K je kod broja 0 na lenjiru, a centar simetrije S kod broja 13. Kod kog broja na lenjiru je slika tačke K u odnosu na tačku S?
Lenjir je položen uz pravu. Tačka A je kod broja 28 na lenjiru, a njena slika u centralnoj simetriji kod broja 12. Kod kog broja na lenjiru je centar simetrije?
Tačka N je slika tačke M u odnosu na centar O, a OM = 7 cm. Koliko je MN?
Duž KL je duga 6 cm i leži na pravoj koja ne prolazi kroz centar simetrije. Šta je njena slika?
Kružnica sa centrom P preslikana je centralnom simetrijom u odnosu na tačku S, a PS = 5 cm. Koliko su udaljeni centri polazne kružnice i njene slike?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 16. Vektor i translacija — kako se pomera fioka?