Kružnica i krug — dokle može da pase koza na konopcu?
Kružnica k(O, r) i krug K(O, r), centar i poluprečnik, crtanje šestarom, tetiva, prečnik (prečnik = 2r, najduža tetiva), kružni luk i veza tetive i luka, prava i kružnica (ne seku se, tangenta i tačka dodira, sečica), prava i krug (sečica seče krug po tetivi), koncentrične kružnice, centralno rastojanje i međusobni položaj dve kružnice i dva kruga.
Video
Pojmovi
- Koza na konopcu
- Kad je konopac zategnut, koza je uvek tačno 4 m od kolca — ma na koju stranu otišla. Sva mesta do kojih tako stigne čine kružnicu: kružnica je skup svih tačaka ravni koje su na istom rastojanju $r$ od jedne tačke $O$. Tačka $O$ je centar (središte), a duž od centra do bilo koje tačke kružnice je poluprečnik. Pišemo $k(O, r)$, odnosno $k(O, r) = \{M \mid OM = r\}$. Kružnicu crtamo šestarom: igla je centar, a otvor šestara poluprečnik.
- Krug
- Kad konopac nije zategnut, koza je bliže kolcu. Popasen deo livade je krug: sve tačke kružnice i sve tačke unutar nje, $K(O, r) = \{M \mid OM \le r\}$. Krug čine kružnica i njena unutrašnja oblast. Cveće 5 m od kolca je van kruga, jer je $5\ \mathrm{m} > 4\ \mathrm{m}$ — koza do njega ne stiže.
- Prava i kružnica
- Put pored livade je kao prava. Prava i kružnica mogu da nemaju nijednu zajedničku tačku (put je daleko), da imaju tačno jednu (prava samo dodirne kružnicu — to je tangenta, a ta tačka je tačka dodira) ili dve zajedničke tačke (prava seče kružnicu — to je sečica). Tri zajedničke tačke ne mogu imati.
- Tetiva i prečnik
- Duž koja spaja dve tačke kružnice zove se tetiva — to je deo sečice koji pripada krugu. Kružnicu sečica dodiruje samo u dva kraja tetive, a krug „probija“ celom dužinom tetive. Tetiva koja prolazi kroz centar je prečnik: sastoji se od dva poluprečnika, pa je dva puta duža od poluprečnika ($2r$). Prečnik je najduža tetiva kružnice.
- Kružni luk
- Kad na kružnici obeležimo dve tačke $A$ i $B$, one je preseku na dva komada — dva kružna luka sa krajevima $A$ i $B$, koja zapisujemo $\overset{\frown}{AB}$. Obično je jedan kraći, a drugi duži; samo kad je $AB$ prečnik, oba komada su polukružnice iste dužine. Na istoj kružnici jednake tetive odsecaju jednake lukove.
- Koncentrične kružnice
- Kad više kružnica deli isti centar, a poluprečnici su im različiti, zovemo ih koncentrične (isto važi i za krugove). Takve su crte na meti za pikado ili godovi na preseku stabla. Između dve koncentrične kružnice, duž svakog poluprečnika, razmak je isti — razlika njihovih poluprečnika.
- Dve kružnice
- Kad hoćemo da znamo kako stoje dve kružnice, merimo koliko su im udaljeni centri; tu udaljenost zovemo centralno rastojanje i obeležavamo sa $d$. Neka je $r_1 > r_2$. Ako je $d > r_1 + r_2$, kružnice su jedna van druge i nemaju zajedničkih tačaka; ako je $d = r_1 + r_2$, dodiruju se spolja (jedna tačka); ako je $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$, seku se (dve tačke); ako je $d = r_1 - r_2$, dodiruju se iznutra (jedna tačka); ako je $d < r_1 - r_2$, manja je unutar veće i ne dodiruju se. Za krugove: kad se kružnice seku, krugovi imaju zajednički deo; kad je manji krug unutar većeg, presek je ceo manji krug.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $O$ | centar | — |
| $r$ | poluprečnik | cm |
Krug čine kružnica i njena unutrašnjost.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $PQ$ | prečnik | cm |
| $r$ | poluprečnik | cm |
Prečnik je najduža tetiva.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $d$ | centralno rastojanje | cm |
| $r_1, r_2$ | poluprečnici, $r_1 > r_2$ | cm |
Kad je r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂, kružnice se seku u dve tačke.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je kružnica $k(O, r)$?
2. Kako se zove duž od centra do tačke kružnice?
3. Koliki je prečnik kružnice poluprečnika 7 cm?
4. Koja tetiva kružnice je najduža?
5. Kako se zove prava koja sa kružnicom ima tačno jednu zajedničku tačku?
6. Koliko zajedničkih tačaka imaju kružnica i njena sečica?
7. Šta je zajedničko koncentričnim kružnicama?
8. Tačka M pripada krugu $K(O, 5\ \mathrm{cm})$, ali ne pripada kružnici $k(O, 5\ \mathrm{cm})$. Šta važi?
9. Kada se dve kružnice dodiruju spolja?
10. Na kružnici su nacrtane tetive AB i CD iste dužine. Šta važi za kraće lukove koje one odsecaju?
Rešeni zadaci
Koza je vezana konopcem od 4 m. Da li može da pase travu kod žbuna 3 m od kolca, a kod klupe 6 m od kolca?
-
Popasen deo je krug $K(O, 4\ \mathrm{m})$ sa centrom u kolcu.Koza stiže do svake tačke na rastojanju najviše 4 m.
-
$3\ \mathrm{m} < 4\ \mathrm{m}$, a $6\ \mathrm{m} > 4\ \mathrm{m}$Žbun je u krugu, klupa van njega.
Poluprečnici dve kružnice su 7 cm i 4 cm, a centri su im udaljeni 5 cm. U kakvom su položaju?
-
$7 + 4 = 11,\quad 7 - 4 = 3$Poredimo d sa zbirom i razlikom poluprečnika.
-
$3 < 5 < 11$Centralno rastojanje je između razlike i zbira.
Može li tetiva kružnice poluprečnika 5 cm da bude duga 12 cm?
-
$2 \cdot 5\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}$Najduža tetiva je prečnik.
-
$12\ \mathrm{cm} > 10\ \mathrm{cm}$Nijedna tetiva ne može biti duža od prečnika.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Centri dve kružnice udaljeni su 17 cm, a prva kružnica ima poluprečnik 6 cm. Koliki treba da bude poluprečnik druge kružnice (u centimetrima) da bi se kružnice dodirivale spolja?
U jedan red kutije Pera stavi 4 konzerve tako da se susedne dodiruju. Dno svake konzerve je krug poluprečnika 5 cm. Koliko centimetara mora da bude duga kutija da bi red tačno stao?
Prava t dodiruje kružnicu u tački T. Koliko zajedničkih tačaka ima prava t sa krugom koji ta kružnica ograničava?
Sečica s seče krug K. Šta je presek prave s i kruga K?
Dve koncentrične kružnice imaju poluprečnike 9 cm i 5 cm. Koliki je razmak između njih, meren duž poluprečnika?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 15. Centralna simetrija — zašto su deca na klackalici uvek jednako daleko od osovine?