Mnogougao — kako Luka pravi ogradu za zečeve?

Izlomljena linija (otvorena i zatvorena, tačke samopresecanja), mnogougaona linija, unutrašnja i spoljašnja oblast, mnogougao kao unija mnogougaone linije i unutrašnje oblasti, temena i stranice, imena mnogouglova po broju temena, dužina izlomljene linije i obim mnogougla, konveksne i nekonveksne figure, presek i unija konveksnih figura.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/127

Video

Luka pravi ogradu za zečeve od drvenih letvica. Slaže ih jednu za drugom: dok poslednja ne dodirne prvu, zečevi mogu da pobegnu. Kad se krug zatvori, unutra je ograđen deo livade. Kako se zove takva figura, koliko je dugačka ograda i zašto ograda ne sme sama sebe da preseče? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Ograda od letvica: Letvice koje Luka slaže kraj na kraj čine izlomljenu liniju: duži nadovezane jedna na drugu, tako da dve susedne ne leže na istoj pravoj. Dok se kraj poslednje letvice ne spoji sa početkom prve, linija je otvorena i zečevi mogu da pobegnu; kad se spoji, linija je zatvorena. Koliko je ograda dugačka? Saberemo dužine svih letvica — dužina izlomljene linije je zbir dužina njenih delova.
Kad ograda sama sebe seče: Ako Luka postavi letvice tako da se dve nesusedne letvice ukrste, ograda ograđuje više odvojenih delova, a mesto ukrštanja zove se tačka samopresecanja. Dobra ograda je zatvorena i nigde sama sebe ne seče — takvu zatvorenu izlomljenu liniju zovemo mnogougaona linija.
Brojimo letvice: Uglovi ograde, gde se dve letvice spajaju, zovu se temena, a same letvice su stranice. Koliko je temena, toliko je i stranica, i po tom broju dajemo ime: trougao (3), četvorougao (4), petougao (5), šestougao (6) … Imenujemo ga redom temena: kod šestougla $KLMNOP$ stranice su $KL$, $LM$, $MN$, $NO$, $OP$ i $PK$. Ukupna dužina ograde je obim — zbir dužina svih stranica.
Livada unutra i spolja: Mnogougaona linija $m$ deli ravan na dva dela: unutrašnju oblast $U$, koja je ograničena (ograđen deo livade), i spoljašnju, koja se proteže bez kraja. Mnogougao $M$ čine linija i sve tačke unutrašnje oblasti: $M = m \cup U$.
Kanap preko ograđenog dela: Zategni kanap između bilo koja dva mesta u ograđenom delu. Ako kanap nikad ne pređe preko ograde, figura je konveksna: za svake dve njene tačke cela duž između njih pripada figuri. Ako se nađu dva mesta za koja kanap mora da izađe napolje, figura je nekonveksna — kao slovo L ili strelica. Trougao ne može da ima „udubljenje“, pa je uvek konveksan; već četvorougao može da bude i konveksan i nekonveksan.
Presek i unija: Zajednički deo (presek) dve konveksne figure je uvek konveksna figura. Za uniju to ne važi: dva pravougaonika postavljena unakrst daju zajedno figuru u obliku znaka plus, a ona nije konveksna, iako je njihov presek — pravougaonik u sredini — konveksan.

Formule

Mnogougao

M = m \cup U

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$m$	mnogougaona linija	—
$U$	unutrašnja oblast	—

Mnogougao čine linija i sve tačke unutar nje.

Obim mnogougla

O = a_1 + a_2 + \ldots + a_n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a_1, \ldots, a_n$	dužine stranica	cm
$n$	broj stranica (i temena)	—

Obim je zbir dužina svih stranica.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kada je izlomljena linija zatvorena?

2. Šta je mnogougaona linija?

3. Šta čini mnogougao?

4. Koliko temena ima šestougao?

5. Šta je obim mnogougla?

6. Kada je figura konveksna?

7. Koji mnogougao je uvek konveksan?

8. Da li je unija dve konveksne figure uvek konveksna?

9. Koliko stranica ima osmougao?

10. Dve nesusedne duži iste izlomljene linije se seku. Kako se zove ta tačka?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Koliko temena i koliko stranica ima mnogougao ABCDEFG? Nabroj stranice.

Temena su A, B, C, D, E, F, G — ima ih 7.

To je sedmougao.
AB, BC, CD, DE, EF, FG i GA.

Poslednja stranica vraća se iz G u A.

Odgovor: 7 temena i 7 stranica.

Zadatak 2

Lukina ograda je trougao sa stranicama 5 m, 4 m i 6 m, a Minina četvorougao sa stranicama 3 m, 4 m, 2 m i 5 m. Kojoj ogradi treba više letvica?

$5\ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m} + 6\ \mathrm{m} = 15\ \mathrm{m}$

Obim Lukine ograde.
$3\ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m} + 2\ \mathrm{m} + 5\ \mathrm{m} = 14\ \mathrm{m}$

Obim Minine ograde.

Odgovor: Lukinoj, za 1 m — iako Minina ima više stranica.

Zadatak 3

Da li je figura u obliku slova L konveksna?

Uzmemo jednu tačku na kraju vodoravnog kraka, a drugu na vrhu uspravnog kraka.

Obe tačke pripadaju figuri.
Duž između njih prolazi kroz „prazan ugao“ slova L, van figure.

Dovoljan je jedan takav par tačaka.

Odgovor: Nije konveksna.

Zadatak 4

Dva pravougaonika su postavljena unakrst, kao znak plus. Da li je konveksan njihov presek, a da li unija?

Presek je pravougaonik u sredini, a pravougaonik je konveksan.

Presek konveksnih figura je konveksan.
Unija ima oblik plusa: duž između krajeva dva susedna kraka izlazi iz figure.

Unija nije konveksna.

Odgovor: Presek jeste, unija nije konveksna.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Mina je od žice duge 125 cm savila okvir u obliku šestougla i potrošila svu žicu. Pet stranica okvira imaju 14, 21, 20, 34 i 24 cm. Koliko centimetara ima preostala stranica?

Zadatak 2

Obim jednog šestougla je 132 cm, a sve njegove stranice su jednake. Koliko centimetara ima jedna stranica?

Zadatak 3

Luka je složio letvice redom od A do B, od B do C, od C do D i od D nazad do A, ali se letvice BC i DA ukrštaju. Da li je to mnogougaona linija?

Zadatak 4

Mina je nacrtala figuru u obliku slova T. Da li je ta figura konveksna?

Zadatak 5

Dva konveksna četvorougla delimično se preklapaju. Šta sigurno važi za njihov zajednički deo?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 14. Kružnica i krug — dokle može da pase koza na konopcu?