Odnosi pravih u ravni — zašto se neke ulice nikad ne sretnu?
Prave koje se seku i presečna tačka (p ∩ r = {A}), paralelne prave (p ∥ q, presek je prazan skup), prave koje se poklapaju (a ≡ b), kroz tačku van prave prolazi tačno jedna paralelna prava, a beskonačno mnogo pravih koje je seku, paralelne duži i poluprave, crtanje paralelnih pravih lenjirom i trouglom, prenošenje paralelnosti, brojanje presečnih tačaka.
Video
Pojmovi
- Nova ulica kroz Mininu kuću
- Opština hoće da kroz Mininu kuću, tačku $M$, prokopa novu ulicu. Ako treba da preseče Glavnu ulicu $g$, ima beskonačno mnogo mogućnosti — dovoljno je malo zakrenuti pravac. Ali ako nova ulica treba da ide uporedo sa Glavnom i nikad se sa njom ne sretne, mogućnost je samo jedna: kroz tačku van prave prolazi tačno jedna prava paralelna sa tom pravom.
- Ulice koje se sretnu
- Ako prave $p$ i $r$ imaju tačno jednu zajedničku tačku $A$, kažemo da se seku, a $A$ je njihova presečna tačka — kao raskrsnica dve ulice. Pišemo $p \cap r = \{A\}$. Dve različite prave ne mogu imati dve zajedničke tačke: kroz dve različite tačke prolazi samo jedna prava, pa bi $p$ i $r$ bile ista prava.
- Ulice koje se nikad ne sretnu
- Prave u ravni koje nemaju nijednu zajedničku tačku su paralelne: $p \parallel q$ i $p \cap q = \emptyset$. Takve su linije u svesci. Paralelnim smatramo i prave koje se poklapaju — kad dve oznake, $a$ i $b$, označavaju istu pravu ($a \equiv b$). Zato je svaka prava paralelna sama sebi.
- Lanac paralela
- Paralelnost važi u oba smera: ako je $a \parallel b$, onda je i $b \parallel a$. Prenosi se i dalje: ako je ulica Lipa paralelna sa Brezom, a Breza sa Javorom, onda su i Lipa i Javor paralelne — iz $a \parallel b$ i $b \parallel c$ sledi $a \parallel c$.
- Prečke na merdevinama
- Prečke na merdevinama su paralelne duži. Za duži i poluprave kažemo da su paralelne ako leže na paralelnim pravama ili na istoj pravoj. Dve duži koje se ne dodiruju zato nisu automatski paralelne: ako se seku prave na kojima leže, duži nisu paralelne.
- Lenjir kao šina, trougao kao voz
- Za crtanje paralele sa pravom $q$ kroz tačku $T$ trebaju nam lenjir i trougao (trougaoni lenjir). Lenjir služi kao šina, a trougao kao voz koji po njoj klizi. Prvo namestimo trougao tako da jedna njegova stranica leži tačno na pravoj $q$, pa uz neku drugu stranicu trougla prislonimo lenjir. Lenjir se više ne pomera; trougao pomeramo uz njega dok stranica koja je bila na $q$ ne prođe kroz $T$ — i duž nje povučemo pravu.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p, r$ | prave | — |
| $A$ | presečna tačka | — |
Tačno jedna zajednička tačka.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $p, q$ | prave | — |
Paralelne prave nemaju zajedničkih tačaka ili se poklapaju.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Kako zovemo dve prave koje imaju tačno jednu zajedničku tačku?
2. Šta je presek dve različite paralelne prave?
3. Šta znači zapis $p \parallel q$?
4. Mina i Luka su kroz istu tačku M, koja nije na pravoj p, nacrtali po jednu pravu paralelnu sa p. Šta važi?
5. Ako je $a \parallel b$, šta važi za prave b i a?
6. Prave a i b se poklapaju ($a \equiv b$). Kako ih još smatramo?
7. Koji od ovih parova daje sliku paralelnih pravih?
8. Kakve su prečke na merdevinama?
9. Presek pravih p i r je $\{A\}$. Kako zovemo tačku A?
10. Čime se crta paralela kroz datu tačku?
Rešeni zadaci
Zašto dve različite prave ne mogu da imaju dve zajedničke tačke?
-
Pretpostavimo da prave p i r imaju dve zajedničke tačke, A i B.Onda obe prave prolaze kroz A i kroz B.
-
Kroz dve različite tačke prolazi tačno jedna prava.Zato bi p i r bile ista prava, a mi smo rekli da su različite.
Svake dve od tri različite prave se seku. Koliko presečnih tačaka može biti?
-
Ako nikoje tri ne prolaze kroz istu tačku: prave a i b, a i c, b i c daju po jednu tačku.Ukupno 3 presečne tačke.
-
Ako sve tri prolaze kroz istu tačku, sve se seku u njoj.Tada je presečna tačka samo jedna.
Tačka T nije na pravoj q. Kroz T su nacrtane tri različite prave r, s i t, a r je paralelna sa q. Koliko od ovih pravih seče pravu q?
-
Kroz T prolazi samo jedna prava paralelna sa q — to je r.Druge paralele kroz T nema.
-
Prave s i t nisu paralelne sa q, pa je seku.Dve prave u ravni ili su paralelne ili se seku.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Na mapi naselja ulice idu u dva pravca: u pravcu sever–jug ih je 9, a u pravcu istok–zapad 2. Ulice istog pravca su međusobno paralelne, a svaka ulica sever–jug seče svaku ulicu istok–zapad. Koliko ima raskrsnica?
Na mapi ulice idu u tri pravca: u prvom ih je 5, u drugom 5, a u trećem, kosom pravcu, samo jedna. Ulice istog pravca su međusobno paralelne, ulice različitih pravaca se seku, a nikoje tri ulice ne prolaze kroz istu tačku. Koliko ima raskrsnica?
Poluprava $\overrightarrow{OA}$ leži na pravoj p, a poluprava $\overrightarrow{MN}$ na pravoj q, pri čemu je $p \parallel q$ i $p \ne q$. Kakve su ove dve poluprave?
Na mapi je ulica Lipa paralelna sa Brezom, a i Javor je paralelan sa Brezom. Lipa i Javor su različite ulice. Koliko raskrsnica imaju Lipa i Javor?
Dok crtaš paralelu pomoću lenjira i trougla, šta radiš sa lenjirom dok pomeraš trougao?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 11. Merenje dužine i jednakost duži — zašto hodnik ne merimo koracima?