Unija, presek i razlika skupova — ko ide i na šah i na glumu?

Unija skupova (elementi bar jednog skupa, „ili“), presek skupova (elementi oba skupa, „i“), disjunktni skupovi (presek je prazan), razlika skupova A \ B i zašto A \ B nije isto što i B \ A, unija, presek i razlika na Venovom dijagramu, presek i unija kad je jedan skup podskup drugog, brojanje elemenata po delovima Venovog dijagrama.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/122

Video

U šahovsku sekciju idu Ana, Luka, Mina, Jovan i Sara, a u dramsku Mina, Sara, Teodora i Nikola. Za školsku priredbu nastavnica pravi tri spiska: ko ide bar na jednu sekciju, ko ide na obe i ko ide samo na šah. Kako se ti spiskovi zovu u matematici i kako se crtaju? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Dve sekcije, zajednički članovi: Šahovska sekcija je skup $S = \{\text{Ana, Luka, Mina, Jovan, Sara}\}$, a dramska $G = \{\text{Mina, Sara, Teodora, Nikola}\}$. Mina i Sara su u oba skupa. Na Venovom dijagramu zato crtamo dve linije koje se delimično preklapaju, a Minu i Saru stavljamo u zajednički deo.
Presek: Presek skupova $A$ i $B$ je skup elemenata koji pripadaju i skupu $A$ i skupu $B$. Zapisuje se $A \cap B$. Učenici koji idu na obe sekcije: $S \cap G = \{\text{Mina, Sara}\}$. Za presek je ključna reč „i“. Na Venovom dijagramu presek je zajednički deo dve linije.
Unija: Unija skupova $A$ i $B$ je skup elemenata koji pripadaju bar jednom od ta dva skupa. Zapisuje se $A \cup B$. Svi koji idu na šah ili na glumu: $S \cup G = \{\text{Ana, Luka, Mina, Jovan, Sara, Teodora, Nikola}\}$ — Minu i Saru pišemo samo jednom. Za uniju je ključna reč „ili“. Na Venovom dijagramu unija je sve što je unutar bar jedne linije.
Razlika: Razlika skupova $A$ i $B$ je skup elemenata skupa $A$ koji ne pripadaju skupu $B$. Zapisuje se $A \setminus B$ i čita „$A$ bez $B$“. Samo na šah idu $S \setminus G = \{\text{Ana, Luka, Jovan}\}$, a samo na glumu $G \setminus S = \{\text{Teodora, Nikola}\}$.
Redosled kod razlike je važan: Kod unije i preseka redosled skupova nije važan: $A \cup B = B \cup A$ i $A \cap B = B \cap A$. Kod razlike jeste: $S \setminus G$ i $G \setminus S$ su ovde različiti skupovi. Brojevima: $\{3, 8, 11\} \setminus \{8\} = \{3, 11\}$, a $\{8\} \setminus \{3, 8, 11\} = \emptyset$.
Disjunktni skupovi: Ako dva skupa nemaju nijedan zajednički element, njihov presek je prazan skup, a sami skupovi zovu se disjunktni. Skup parnih i skup neparnih prirodnih brojeva su disjunktni. Na Venovom dijagramu disjunktne skupove crtamo kao dve odvojene linije.
Kad je jedan skup podskup drugog: Ekipa $E = \{\text{Ana, Luka}\}$ je podskup šahovske sekcije. Zajednički deo ekipe i sekcije je cela ekipa, a zajedno čine celu sekciju: ako je $E \subset S$, onda je $E \cap S = E$ i $E \cup S = S$.
Operacije sa praznim skupom: Prazan skup ne dodaje i ne oduzima ništa: $A \cup \emptyset = A$ i $A \setminus \emptyset = A$. Pošto u praznom skupu nema elemenata, nema ni zajedničkih: $A \cap \emptyset = \emptyset$. Na primer, ako nijedan član šahovske sekcije ne ide na hor, presek ta dva skupa je prazan.
Više operacija i zagrade: Kad u zapisu ima više operacija, prvo se radi ono u zagradi. Za $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6, 9\}$ i $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ je $(A \cup B) \cap C = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\} \cap C = \{2, 3, 4, 6\}$, a $A \cup (B \cap C) = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{3, 6\} = \{2, 3, 4, 6, 8\}$ — zagrade menjaju rezultat.
Brojanje po delovima dijagrama: Dve linije koje se preklapaju dele dijagram na tri dela: samo u $A$, u oba, samo u $B$. Ako znamo koliko elemenata ima svaki deo, lako izračunamo koliko ih ima unija: šah ima 3 člana koji ne idu na glumu, 2 su u obe sekcije, a 2 su samo na glumi, pa u uniji ima $3 + 2 + 2 = 7$ učenika.

Formule

Presek

A \cap B

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A, B$	skupovi	—

Elementi koji su i u A i u B.

Unija

A \cup B

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A, B$	skupovi	—

Elementi koji su u A ili u B (bar u jednom).

Razlika

A \setminus B

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A, B$	skupovi	—

Elementi skupa A koji nisu u B. A \ B i B \ A ne moraju biti isti skup.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je unija skupova A i B?

2. Koliko je $\{2, 5\} \cup \{5, 8\}$?

3. Koliko je $\{3, 6, 9\} \cap \{6, 9, 12\}$?

4. Šta znači da su dva skupa disjunktna?

5. Koliko je $\{1, 4, 7, 10\} \setminus \{4, 10\}$?

6. Da li je $A \setminus B$ uvek isto što i $B \setminus A$?

7. Ako je $B \subset A$, čemu je uvek jednako $A \cap B$?

8. Koja reč najbolje opisuje presek?

9. Na Venovom dijagramu obojen je deo koji je unutar linije skupa A, a van linije skupa B. Koji je to skup?

10. Skupovi A i B su disjunktni, A ima 5, a B 3 elementa. Koliko elemenata ima $A \cup B$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Za sekcije $S = \{\text{Ana, Luka, Mina, Jovan, Sara}\}$ i $G = \{\text{Mina, Sara, Teodora, Nikola}\}$ odredi $k(S \cup G)$, $S \cap G$ i $G \setminus S$.

$S \cap G = \{\text{Mina, Sara}\}$

Oni su u oba skupa.
$G \setminus S = \{\text{Teodora, Nikola}\}$

Iz G izbacimo one koji su i u S.
$k(S \cup G) = 5 + 2 = 7$

Svi iz S i još oni iz G kojih nema u S.

Odgovor: $k(S \cup G) = 7$, $S \cap G = \{$Mina, Sara$\}$, $G \setminus S = \{$Teodora, Nikola$\}$.

Zadatak 2

Neka je A skup delilaca broja 18, a B skup delilaca broja 30. Odredi $A \cap B$.

$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

Parovi: $1 \cdot 18$, $2 \cdot 9$, $3 \cdot 6$.
$B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

Parovi: $1 \cdot 30$, $2 \cdot 15$, $3 \cdot 10$, $5 \cdot 6$.
$A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$

Biramo brojeve koji su u oba spiska.

Odgovor: $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$ — to su zajednički delioci brojeva 18 i 30.

Zadatak 3

Od brojeva od 1 do 60, koliko ih je deljivo sa 4 ili sa 6?

$60 : 4 = 15,\quad 60 : 6 = 10$

Sa 4 je deljivo 15 brojeva, a sa 6 deset brojeva.
$60 : 12 = 5$

I sa 4 i sa 6 deljivi su brojevi 12, 24, 36, 48, 60 — sadržaoci broja 12. To je presek.
$(15 - 5) + 5 + (10 - 5) = 20$

Samo sa 4, sa oba, samo sa 6: brojimo po delovima dijagrama, presek jednom.

Odgovor: 20 brojeva.

Zadatak 4

Neka je A skup slova reči KOLAČ, a B skup slova reči ČOKOLADA. Odredi $A \cap B$, $A \cup B$ i $B \setminus A$.

$A = \{\text{K, O, L, A, Č}\},\quad B = \{\text{Č, O, K, L, A, D}\}$

Svako slovo pišemo jednom.
$A \subset B$

Svako slovo reči KOLAČ ima i u reči ČOKOLADA.
$A \cap B = A,\quad A \cup B = B,\quad B \setminus A = \{\text{D}\}$

Kad je A podskup od B, presek je A, a unija B.

Odgovor: $A \cap B = A$, $A \cup B = B$, $B \setminus A = \{\text{D}\}$.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Neka je A skup delilaca broja 24, a B skup delilaca broja 18. Odredi skup $A \cup B$. Upiši sve njegove elemente, odvojene zarezom.

Zadatak 2

Neka je A skup delilaca broja 35, a B skup delilaca broja 18. Odredi skup $A \setminus B$. Upiši sve njegove elemente, odvojene zarezom.

Zadatak 3

Od brojeva od 1 do 92, koliko ih nije deljivo ni sa 10 ni sa 15?

Zadatak 4

Neka je $A = \{1, 3, 5, 7\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$. Koji je skup $B \setminus A$?

Zadatak 5

Skupovi A i B su disjunktni. A ima 6 elemenata, a B 4. Koliko elemenata ima $A \setminus B$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 9. Tačke i prave — kako Luka postavlja šatore u ravan red?