Skupovi — ko je sve u šahovskoj sekciji?

Skup i njegovi elementi, znaci ∈ i ∉, zapis skupa velikim slovom i vitičastim zagradama, skup zadat svojstvom {n | …}, konačni i beskonačni skupovi, prazan skup, jednaki skupovi (redosled i ponavljanje nisu važni), podskup i znak ⊂, svaki skup je podskup sam sebi, prazan skup je podskup svakog skupa, univerzalni skup, broj elemenata k(A), Venovi dijagrami, svi podskupovi skupa sa tri elementa.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/121

Video

U šahovsku sekciju idu Ana, Luka, Mina, Jovan i Sara. Nastavnica za školsko takmičenje bira ekipu od dvoje — Anu i Luku. Marko trenira fudbal i nije u sekciji. Kako to matematičari kratko zapišu i nacrtaju? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Skup i element: Kad više stvari posmatramo zajedno, kao celinu, kažemo da čine skup. Članovi šahovske sekcije su jedan skup, a svaki od njih — Ana, Luka, Mina, Jovan i Sara — je element (član) tog skupa. Skupove obeležavamo velikim slovima, a elemente nabrajamo u vitičastim zagradama, odvojene zarezima: $S = \{\text{Ana, Luka, Mina, Jovan, Sara}\}$.
Pripada i ne pripada: Da element pripada skupu, pišemo znak $\in$, a da ne pripada, znak $\notin$. Luka je u sekciji: $\text{Luka} \in S$. Marko nije: $\text{Marko} \notin S$. Isto važi za brojeve: $7 \in N$, a $0 \notin N$ (nula je u skupu $N_0$, ali nije prirodan broj).
Skup zadat svojstvom: Skup ne moramo uvek da zadamo nabrajanjem — možemo da kažemo koje svojstvo imaju njegovi elementi. Zapis $\{n \mid n \in N,\ n < 5\}$ čitamo „skup brojeva $n$ takvih da je $n$ prirodan broj manji od 5“; to je skup $\{1, 2, 3, 4\}$. Uspravna crta $\mid$ ovde se čita „takvih da je“.
Konačni, beskonačni i prazan skup: Skup članova sekcije je konačan — ima tačno pet elemenata. Skup prirodnih brojeva je beskonačan: koliko god brojeva nabrojimo, uvek postoji sledeći. Zato pišemo prvih nekoliko i tri tačke: $N = \{1, 2, 3, \ldots\}$. Skup koji nema nijedan element zove se prazan skup i obeležava se sa $\emptyset$ ili $\{\ \}$ — na primer, skup članova sekcije rođenih 30. februara (takav datum ne postoji).
Broj elemenata: Broj elemenata konačnog skupa $A$ obeležavamo sa $k(A)$. Za sekciju je $k(S) = 5$, a za prazan skup $k(\emptyset) = 0$.
Jednaki skupovi: Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente: svaki element skupa $A$ je u $B$, i obrnuto, svaki element skupa $B$ je u $A$. Redosled nije važan: $\{4, 9, 1\} = \{1, 4, 9\}$. Ako je element napisan više puta, to je i dalje jedan element: slova reči ANANAS čine skup $\{\text{A, N, S}\}$, koji ima tri elementa.
Podskup: Ekipa za takmičenje je $E = \{\text{Ana, Luka}\}$. Svaki član ekipe je i član sekcije, pa kažemo da je $E$ podskup skupa $S$ i pišemo $E \subset S$. I sama sekcija je svoj podskup ($S \subset S$), jer je svaki njen član — njen član. Prazan skup je podskup svakog skupa ($\emptyset \subset S$): u njemu nema nijednog elementa koji ne bi bio u $S$. Ako je $A \subset B$ i $B \subset A$, skupovi su jednaki.
Venovi dijagrami: Skup možemo i nacrtati: zatvorenom linijom, a elemente tačkama unutar nje. Takav crtež zove se Venov dijagram, po engleskom matematičaru Džonu Venu. Ako je $E \subset S$, linija skupa $E$ nacrta se cela unutar linije skupa $S$, a Marka, koji nije u sekciji, crtamo kao tačku van obe linije. Ceo crtež često uokvirimo pravougaonikom: to je univerzalni skup $U$ — skup svih elemenata o kojima u zadatku govorimo, ovde svih učenika škole.

Formule

Pripadanje

a \in A, \qquad b \notin A

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	elementi	—
$A$	skup	—

„a pripada skupu A“, „b ne pripada skupu A“.

Podskup

B \subset A

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A, B$	skupovi	—

Svaki element skupa B je i element skupa A. Uvek važi A ⊂ A i ∅ ⊂ A.

Prazan skup i broj elemenata

\emptyset = \{\ \}, \qquad k(\emptyset) = 0

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$k(A)$	broj elemenata skupa A	—

Na primer, k({2, 5, 8}) = 3.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kojim znakom zapisujemo da element pripada skupu?

2. Dat je skup $A = \{3, 7, 11\}$. Šta je tačno?

3. Koji od ovih skupova je beskonačan?

4. Koliko elemenata ima prazan skup?

5. Koji skup čine slova reči BANANA?

6. Da li su skupovi $\{5, 2, 8\}$ i $\{2, 8, 5\}$ jednaki?

7. Šta znači zapis $B \subset A$?

8. Koji skup je podskup svakog skupa?

9. Koji je skup $\{n \mid n \in N,\ n \le 3\}$?

10. Na Venovom dijagramu linija skupa B je cela unutar linije skupa A. Šta to znači?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Napiši nabrajanjem skup $A = \{n \mid n \in N,\ n < 40,\ \text{zbir cifara broja } n \text{ je } 5\}$. Koliko je $k(A)$?

Jednocifren: 5. Dvocifreni manji od 40: desetice 1, 2 ili 3, a jedinice dopunjuju do 5.

Cifra desetica ne može biti veća od 3, jer je $n < 40$.
$A = \{5, 14, 23, 32\}$

1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5, 3 + 2 = 5.

Odgovor: $A = \{5, 14, 23, 32\}$, $k(A) = 4$.

Zadatak 2

Luka sme da uzme sa stola koliko hoće voćaka: jabuku (j), bananu (b) i šljivu (š) — može i nijednu. Koliko ima različitih izbora?

$\emptyset$

Luka ne uzme ništa — prazan skup je takođe podskup.
$\{\text{j}\},\ \{\text{b}\},\ \{\text{š}\}$

Po jedno voće: tri podskupa.
$\{\text{j, b}\},\ \{\text{j, š}\},\ \{\text{b, š}\}$

Po dva voća: tri podskupa.
$\{\text{j, b, š}\}$

Sva tri — skup je podskup sam sebi.

Odgovor: Ima ih 8: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$.

Zadatak 3

Da li je skup delilaca broja 12 podskup skupa delilaca broja 24? A obrnuto?

$D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$D_{12}$ je oznaka za skup delilaca broja 12. Delioce tražimo u parovima: $1 \cdot 12$, $2 \cdot 6$, $3 \cdot 4$.
$D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

Parovi: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$.
$D_{12} \subset D_{24}$, ali $8 \in D_{24}$ i $8 \notin D_{12}$

Svaki delilac broja 12 deli i 24; obrnuto ne važi.

Odgovor: $D_{12} \subset D_{24}$, a $D_{24}$ nije podskup skupa $D_{12}$.

Zadatak 4

Da li je $\{n \mid n \in N_0,\ n < 4\} = \{0, 1, 2, 3\}$? A $\{n \mid n \in N,\ n < 4\}$?

$\{n \mid n \in N_0,\ n < 4\} = \{0, 1, 2, 3\}$

U skupu $N_0$ je i nula.
$\{n \mid n \in N,\ n < 4\} = \{1, 2, 3\}$

Nula nije prirodan broj.

Odgovor: Prvi skup jeste jednak skupu {0, 1, 2, 3}, drugi nije.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Koliko elemenata ima skup $A = \{n \mid n \in N,\ 49 < n \le 98,\ n \text{ pri deljenju sa } 3\text{ daje ostatak } 1\}$?

Zadatak 2

Napiši nabrajanjem elemente skupa $A = \{n \mid n \in N,\ 50 \le n \le 67,\ n \text{ pri deljenju sa } 7\text{ daje ostatak } 4\}$. Upiši ih sve, odvojene zarezom.

Zadatak 3

Koji od ovih skupova je prazan?

Zadatak 4

Dat je skup $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Koji iskaz je tačan?

Zadatak 5

Skup A ima 5 elemenata. Koliko najviše elemenata može da ima neki njegov podskup?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 8. Unija, presek i razlika skupova — ko ide i na šah i na glumu?