Deljivost sa 3 i 9 — kako Marko za sekund zna da li je broj deljiv sa 9?
Pravila deljivosti sa 3 i sa 9 preko zbira cifara, zašto ta pravila važe (10 = 9 + 1), veza deljivosti sa 9 i sa 3, nepoznata cifra u zapisu broja i deljivost sa 6 kao deljivost i sa 2 i sa 3.
Video
Pojmovi
- Zbir cifara
- Kad saberemo sve cifre kojima je broj zapisan, dobijemo njegov zbir cifara. Za broj 4 572 to je $4 + 5 + 7 + 2 = 18$.
- Pravilo za 9
- Broj je deljiv sa 9 ako je zbir njegovih cifara deljiv sa 9. Ako zbir cifara nije deljiv sa 9, nije ni broj. Tako se deljivost proveri bez deljenja: 81 345 627 ima zbir cifara 36, a 36 je deljivo sa 9.
- Pravilo za 3
- Broj je deljiv sa 3 ako je zbir njegovih cifara deljiv sa 3. Ako zbir cifara nije deljiv sa 3, nije ni broj. Broj 3 714 ima zbir cifara 15, pa je deljiv sa 3.
- Zašto pravila važe
- Deset je za jedan veće od 9, sto je za jedan veće od 99, hiljadu je za jedan veće od 999: $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1\,000 = 999 + 1$. Zato je $5\,283 = 5 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 3 = 5 \cdot (999 + 1) + 2 \cdot (99 + 1) + 8 \cdot (9 + 1) + 3$, odnosno $5\,283 = 5 \cdot 999 + 2 \cdot 99 + 8 \cdot 9 + (5 + 2 + 8 + 3)$. Prvi deo je sigurno deljiv sa 9 (pa i sa 3), a ostatak je baš zbir cifara. Zato deljivost sa 9 i sa 3 zavisi samo od zbira cifara.
- Deljiv sa 9 — deljiv i sa 3
- Pošto je $9 = 3 \cdot 3$, svaki broj deljiv sa 9 deljiv je i sa 3. Obrnuto ne mora da važi: 4 512 ima zbir cifara 12, pa je deljiv sa 3, ali nije deljiv sa 9.
- Ponovljeni zbir cifara
- Kod velikih brojeva zbir cifara može biti i sam veliki. Tada saberi i njegove cifre: za 81 345 627 zbir je 36, a $3 + 6 = 9$. Deljivost sa 3 i sa 9 se pri tome ne menja.
- Svaki treći, svaki deveti
- Među brojevima koji idu redom svaki treći je deljiv sa 3, a svaki deveti sa 9. Zato do sledećeg broja deljivog sa 9 nikad ne treba ići više od osam koraka.
- Nepoznata cifra
- Ako je u zapisu broja umesto jedne cifre zvezdica, saberi poznate cifre i vidi koliko nedostaje do zbira deljivog sa 9 (ili sa 3). Za broj 52∗4 poznate cifre daju 11, do 18 nedostaje 7, pa je za deljivost sa 9 ∗ = 7. Pazi: rešenja može biti više. Za deljivost sa 3 odgovaraju tri cifre (za 52∗4: 1, 4 i 7), a četiri — 0, 3, 6 i 9 — kad je zbir poznatih cifara već deljiv sa 3. Za deljivost sa 9 rešenje je jedno, osim kad je zbir poznatih cifara već deljiv sa 9: tada odgovaraju 0 i 9 (u 4∗5: 405 i 495).
- Zajedno sa 2 i 5
- Pravila se mogu kombinovati. Broj koji je deljiv i sa 2 i sa 3 deljiv je sa 6: paran je, a zbir cifara mu je deljiv sa 3. Broj deljiv i sa 3 i sa 5 deljiv je sa 15. Pazi: 18 je deljiv i sa 3 i sa 9, a nije deljiv sa 27 — ovo pravilo važi samo za parove kao 2 i 3 ili 3 i 5, koji nemaju zajednički delilac veći od 1.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | prirodan broj | — |
| $9 \mid n$ | „9 deli n“, tj. n je deljiv sa 9 | — |
Važi u oba smera: ako je zbir cifara deljiv sa 9, deljiv je i broj, a ako nije — nije ni broj.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $n$ | prirodan broj | — |
| $3 \mid n$ | „3 deli n“, tj. n je deljiv sa 3 | — |
Ako $9 \mid n$, onda i $3 \mid n$; obrnuto ne mora.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $9, 99, 999$ | brojevi zapisani samo devetkama — svi deljivi sa 9 i sa 3 | — |
Zbog ovoga deljivost sa 3 i 9 zavisi samo od zbira cifara.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je zbir cifara broja 6 093?
2. Kada je prirodan broj deljiv sa 3?
3. Kada je prirodan broj deljiv sa 9?
4. Zbir cifara nekog broja je 21. Šta je tačno?
5. Broj je deljiv sa 9. Da li je deljiv i sa 3?
6. Broj je deljiv sa 3. Da li je sigurno deljiv i sa 9?
7. Zašto pravilo za 9 važi?
8. Koji od ovih brojeva je deljiv sa 9?
9. Broj deljiv i sa 2 i sa 3 sigurno je deljiv i sa:
10. Zbir cifara nekog broja je 72, a zbir cifara broja 72 je 9. Da li je početni broj deljiv sa 9?
Rešeni zadaci
Proveri za svaki od brojeva 4 572, 31 807 i 2 019 da li je deljiv sa 3 i da li je deljiv sa 9.
-
$4 + 5 + 7 + 2 = 18$18 je deljivo i sa 3 i sa 9, pa je 4 572 deljiv i sa 3 i sa 9.
-
$3 + 1 + 8 + 0 + 7 = 19$19 nije deljivo ni sa 3 ni sa 9, pa ni 31 807 nije.
-
$2 + 0 + 1 + 9 = 12$12 je deljivo sa 3, ali nije sa 9: 2 019 je deljiv sa 3, a nije sa 9.
Koja se cifra krije ispod zvezdice ako je broj 52∗4 deljiv sa 9?
-
$5 + 2 + 4 = 11$Saberemo poznate cifre.
-
$11 + 7 = 18$Do prvog zbira deljivog sa 9 nedostaje 7. Do sledećeg, 27, nedostajalo bi 16 — a to nije cifra.
Koje sve cifre mogu da stoje umesto zvezdice u broju 5∗21 da bi bio deljiv sa 3? A da bi bio deljiv sa 9?
-
$5 + 2 + 1 = 8$Saberemo poznate cifre.
-
$8 + 1 = 9,\quad 8 + 4 = 12,\quad 8 + 7 = 15$Zbirovi deljivi sa 3 dobijaju se za ∗ = 1, 4 ili 7 (sa 10 bi bilo previše).
-
$8 + 1 = 9$Od tih zbirova samo je 9 deljivo sa 9; do 18 bi nedostajalo 10 — a to nije cifra.
Da li je broj 3 714 deljiv sa 6?
-
3 714 se završava cifrom 4, pa je paran — deljiv je sa 2.Pravilo za 2: poslednja cifra je parna.
-
$3 + 7 + 1 + 4 = 15$15 je deljivo sa 3, pa je i 3 714 deljiv sa 3.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Koja se cifra krije ispod zvezdice ako je broj 5∗87 deljiv sa 9?
Koji je najmanji broj veći od 309 deljiv sa 9?
Od cifara 2, 3, 7 i 8 izaberi tri različite i sastavi najveći trocifren broj deljiv sa 9.
Koji od ovih brojeva je deljiv i sa 2 i sa 9?
Koje sve cifre mogu da stoje umesto zvezdice u broju 514∗ da bi bio deljiv sa 3? Upiši ih sve, odvojene zarezom.
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Još časova: Spojeni sudovi — zašto je izliv čajnika visok kao i sam čajnik? · Fizika i savremeni svet — koliko fizike ima u tvom telefonu?