Deljivost sa 4 i 25 — kada Mina može da proslavi rođendan 29. februara?

Prestupne godine i deljivost sa 4, zašto su važne samo poslednje dve cifre (100 = 4 · 25), pravilo deljivosti sa 4 (dvocifreni završetak), pravilo deljivosti sa 25 (završeci 00, 25, 50, 75), deljiv i sa 4 i sa 25 znači deljiv sa 100, ostatak pri deljenju sa 4 i sa 25 iz poslednje dve cifre.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/120

Video

Mina je rođena 29. februara — a taj dan postoji samo u prestupnim godinama. Kalendar kaže: prestupne su godine deljive sa 4. Mina hoće da zna da li će 2036. godine slaviti pravi rođendan, a nema vremena za deljenje. Ispostavlja se da je dovoljno da pogleda samo dve cifre. Koje i zašto? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Prestupne godine: Godina obično ima 365 dana, a prestupna 366 — tada februar ima 29 dana. Prestupne su godine deljive sa 4: 2024, 2028, 2032, … Postoji i jedan izuzetak: godina koja se završava sa dve nule prestupna je samo ako je deljiva sa 400 (2000. jeste bila prestupna, a 2100. neće biti). Mina zato slavi „pravi“ rođendan samo svake četvrte godine.
Važne su samo poslednje dve cifre: Svaki broj rastavimo na deo koji se završava sa dve nule i poslednje dve cifre: $2\,036 = 2\,000 + 36$. Deo sa dve nule je sto puta neki broj, $2\,000 = 100 \cdot 20$, a pošto je $100 = 4 \cdot 25$, taj deo je deljiv i sa 4 i sa 25. Zato deljivost sa 4 i sa 25 zavisi samo od broja koji čine poslednje dve cifre.
Deljivost sa 4: Broj je deljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine njegove poslednje dve cifre (desetice i jedinice) deljiv sa 4. Pošto je $36 = 4 \cdot 9$, godina 2036 je prestupna. Godina 2042 nije, jer je $42 = 4 \cdot 10 + 2$.
Nije dovoljna poslednja cifra: Kod deljivosti sa 4 ne smemo da gledamo samo poslednju cifru: 16 i 36 su deljivi sa 4, a 26 i 46 nisu, iako se svi završavaju cifrom 6. Brz način da proveriš dvocifreni završetak: prepolovi ga dva puta. $36 \to 18 \to 9$ — uspelo je, pa je 36 deljiv sa 4; $26 \to 13$, a 13 ne može da se prepolovi, pa 26 nije.
Deljivost sa 25: Dvocifreni brojevi deljivi sa 25 su samo 25, 50 i 75 (i završetak 00). Zato je broj deljiv sa 25 ako se završava sa 00, 25, 50 ili 75. Za 3 475 dinara može se kupiti tačan broj ulaznica od po 25 dinara, bez kusura, a za 3 455 dinara ne može.
I sa 4 i sa 25: Od završetaka 00, 25, 50 i 75 jedino je 00 deljiv sa 4. Zato je broj deljiv i sa 4 i sa 25 tačno onda kada se završava sa dve nule — kada je deljiv sa 100.
Ostatak iz poslednje dve cifre: Pošto je deo sa dve nule deljiv i sa 4 i sa 25, broj daje isti ostatak kao njegov dvocifreni završetak. Broj 93 787 pri deljenju sa 4 daje ostatak 3, jer je $87 = 4 \cdot 21 + 3$, a pri deljenju sa 25 ostatak 12, jer je $87 = 25 \cdot 3 + 12$.

Formule

Deljivost sa 4

4 \mid n \;\Leftrightarrow\; 4 \mid \text{(broj od poslednje dve cifre)}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—

Na primer, 4 | 7 312 jer 4 | 12.

Deljivost sa 25

25 \mid n \;\Leftrightarrow\; \text{završetak je } 00, 25, 50 \text{ ili } 75

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	prirodan broj	—

Deljiv i sa 4 i sa 25 znači deljiv sa 100.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Od čega zavisi da li je broj deljiv sa 4?

2. Zašto je za deljivost sa 4 i sa 25 dovoljno pogledati poslednje dve cifre?

3. Koji od ovih brojeva je deljiv sa 4?

4. Koji od ovih brojeva je deljiv sa 25?

5. Broj se završava cifrom 6. Da li je sigurno deljiv sa 4?

6. Kojim završecima se završavaju brojevi deljivi sa 25?

7. Koji od ovih brojeva je deljiv i sa 4 i sa 25?

8. Koja od ovih godina je prestupna?

9. Kojim završetkom broj daje ostatak 1 pri deljenju sa 4?

10. Koliki je ostatak pri deljenju broja 4 290 sa 25?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Da li su godine 2036 i 2042 prestupne?

$36 = 4 \cdot 9$

Završetak 36 je deljiv sa 4, pa je i 2036.
$42 = 4 \cdot 10 + 2$

Završetak 42 nije deljiv sa 4, pa nije ni 2042.

Odgovor: 2036. je prestupna, 2042. nije.

Zadatak 2

Koji od brojeva 5 316, 7 490, 81 925 i 6 250 su deljivi sa 25?

Završeci su 16, 90, 25 i 50.

Gledamo samo poslednje dve cifre.
Od njih su 25 i 50 među završecima 00, 25, 50, 75.

16 i 90 nisu.

Odgovor: Deljivi sa 25 su 81 925 i 6 250.

Zadatak 3

Koliki su ostaci pri deljenju broja 93 787 sa 4 i sa 25?

$93\,787 = 93\,700 + 87$

93 700 se završava sa dve nule, pa je deljiv i sa 4 i sa 25.
$87 = 4 \cdot 21 + 3,\quad 87 = 25 \cdot 3 + 12$

Ostatak zavisi samo od broja 87.

Odgovor: Sa 4: ostatak 3; sa 25: ostatak 12.

Zadatak 4

Koji je najveći trocifren broj deljiv i sa 4 i sa 25?

Deljiv i sa 4 i sa 25 znači da se završava sa 00.

Jedini završetak deljiv i sa 4 i sa 25.
Trocifreni brojevi sa završetkom 00 su 100, 200, …, 900.

Najveći od njih je 900.

Odgovor: 900.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Koliki je ostatak pri deljenju broja 530 735 sa 4? Pokušaj bez pismenog deljenja.

Zadatak 2

Koliko je prestupnih godina od 2037. do 2071. godine, ako brojimo i te dve godine? (U tom periodu prestupne su tačno godine deljive sa 4.)

Zadatak 3

Dugmići se pakuju u kesice po 25. U magacinu je 7 257 dugmića. Koliko najmanje dugmića treba dodati da bi svi bili spakovani u pune kesice?

Zadatak 4

Koji od ovih brojeva NIJE deljiv sa 4, iako mu je poslednja cifra parna?

Zadatak 5

Koju cifru treba upisati umesto zvezdice u broj 7∗50 da bi bio deljiv sa 4?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 6. Deljivost sa 3 i 9 — kako Marko za sekund zna da li je broj deljiv sa 9?