Delioci i sadržaoci — na koliko načina mogu da se poređaju 24 stolice?
Delilac (činilac) i sadržalac prirodnog broja, oznaka b | a, broj 1 i sam broj kao delioci, konačno mnogo delilaca i beskonačno mnogo sadržalaca, traženje delilaca u parovima, deljivost zbira i razlike (kad su sabirci deljivi, kad jedan nije, i kad je zbir deljiv a sabirci nisu), deljivost proizvoda, zaključivanje o parnosti.
Video
Pojmovi
- Redovi stolica
- 24 stolice mogu da se poređaju u redove od po 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ili 24 stolice — svaki put ništa ne ostane. U redove od po 5 ne mogu: $24 = 5 \cdot 4 + 4$, pa bi 4 stolice ostale. Brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24 su delioci broja 24.
- Delioce tražimo u parovima
- Delioci dolaze u parovima: čim nađemo jedan, dobijemo i drugi. Za 24: $1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$. Proveravamo redom 1, 2, 3, … i stanemo kad se parovi „sretnu“ — posle $4 \cdot 6$ dolazi $6 \cdot 4$, a to već imamo. Tako nijedan delilac ne promakne.
- Autobus na svakih 15 minuta
- Autobus sa okretnice polazi na svakih 15 minuta: posle 15, 30, 45, 60, … minuta. To su sadržaoci broja 15 — dobijaju se množenjem: $15 \cdot 1, 15 \cdot 2, 15 \cdot 3, \ldots$ (i nula je sadržalac, jer je $15 \cdot 0 = 0$). Sadržaoci ne prestaju nikad: svaki prirodan broj ima beskonačno mnogo sadržalaca.
- Delilac, sadržalac i oznaka
- Ako je $a = b \cdot q$ za neki broj $q$ iz $N_0$, pri čemu je $b$ prirodan broj, kažemo da je $b$ delilac broja $a$, a $a$ sadržalac broja $b$. Pišemo $b \mid a$ i čitamo „$b$ deli $a$“. Kako je $35 = 7 \cdot 5$, važi $7 \mid 35$. Umesto „delilac“ kaže se i „činilac“, jer 7 učestvuje u proizvodu koji daje 35.
- Uvek bar dva delioca
- Svaki prirodan broj deljiv je jedinicom i samim sobom: $1 \mid n$ i $n \mid n$. Zato svaki prirodan broj veći od 1 ima bar dva delioca. Nijedan delilac nije veći od samog broja, pa svaki prirodan broj ima konačno mnogo delilaca.
- Dva bloka stolica
- U sali su dva bloka: u jednom 30 stolica, u drugom 18, i oba su složena u redove po 6. Zajedno to su 48 stolica — opet u punim redovima po 6. Ako je svaki sabirak deljiv nekim brojem, deljiv je i zbir: $30 + 18 = 6 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 6 \cdot 8$. Isto važi za razliku: $30 - 18 = 12 = 6 \cdot 2$.
- Kad jedan sabirak nije deljiv
- Kad u drugom bloku nije 18, nego 19 stolica, jedna stolica „visi“, i ni zbir 49 nije deljiv sa 6. Ako je jedan sabirak deljiv nekim brojem, a drugi nije, zbir nije deljiv tim brojem.
- Zbir deljiv, sabirci ne
- Obrnuto ne mora da važi: 9 i 11 nisu deljivi sa 4, a njihov zbir 20 jeste. Iz toga što je zbir deljiv ne smemo zaključiti da su deljivi i sabirci.
- Deljivost proizvoda
- Ako je bar jedan činilac u proizvodu deljiv nekim brojem, deljiv je i proizvod: pošto je 9 deljiv sa 3, i $9 \cdot 47 = 423$ je deljiv sa 3 — ne moramo ni da množimo.
- Zaključivanje bez računanja
- Luka kaže da je kupio nekoliko svezaka po 4 dinara i nekoliko olovaka po 6 dinara i platio tačno 51 dinar. Da li je to moguće? Oba iznosa, $4 \cdot a$ i $6 \cdot b$, deljiva su sa 2, pa bi i njihov zbir bio paran. A 51 je neparan — Luka se negde preračunao.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $b \mid a$ | „b deli a“: b je delilac, a je sadržalac broja b | — |
Za svaki prirodan broj $n$: $1 \mid n$ i $n \mid n$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | brojevi iz $N_0$ ($a \ge b$ kod razlike) | — |
Obrnuto ne mora: $4 \mid (9 + 11)$, a $4 \nmid 9$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | prirodni brojevi | — |
Dovoljno je da jedan činilac bude deljiv.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta znači zapis $6 \mid 42$?
2. Koji od ovih brojeva je delilac broja 45?
3. Koji od ovih brojeva je sadržalac broja 12?
4. Koji od ovih brojeva NIJE delilac broja 18?
5. Koji broj je delilac svakog prirodnog broja?
6. Koliko sadržalaca ima broj 7?
7. Brojevi 35 i 49 deljivi su sa 7. Šta je sa $35 + 49$?
8. Broj 30 je deljiv sa 6, a 8 nije. Šta je sa $30 + 8$?
9. Zbir dva broja je deljiv sa 5. Da li su oba sabirka sigurno deljiva sa 5?
10. Zašto je $12 \cdot 31$ deljiv sa 4?
Rešeni zadaci
Odredi sve delioce broja 60.
-
$60 = 1 \cdot 60 = 2 \cdot 30 = 3 \cdot 20 = 4 \cdot 15 = 5 \cdot 12 = 6 \cdot 10$Proveravamo redom 1, 2, 3, …; 7, 8 i 9 nisu delioci, a posle 6 · 10 bi došlo 10 · 6.
-
Delioci: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.Ukupno 12 delilaca.
Koji je najmanji sadržalac broja 23 veći od 200?
-
$23 \cdot 8 = 184,\quad 23 \cdot 9 = 207$Množimo 23 redom dok ne pređemo 200.
Da li je $300 + 42$ deljivo sa 6? Da li je $300 + 43$?
-
300 je deljiv sa 6 ($6 \cdot 50$), a i 42 ($6 \cdot 7$).Oba sabirka deljiva → zbir 342 deljiv sa 6.
-
300 je deljiv sa 6, a 43 nije.Jedan deljiv, drugi nije → zbir 343 nije deljiv sa 6.
Da li je proizvod $15 \cdot 28$ deljiv sa 7? A sa 5?
-
$7 \mid 28$Jedan činilac je deljiv sa 7, pa je i proizvod.
-
$5 \mid 15$Jedan činilac je deljiv sa 5, pa je i proizvod.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Na času fiskulture ima 90 učenika. Na koliko različitih načina mogu da stanu u redove sa jednakim brojem učenika, ako treba da budu bar 2 reda i bar 2 učenika u svakom redu?
Koliko ima sadržalaca broja 14 među brojevima od 123 do 213 (i 123 i 213 se računaju)?
Koji od ovih zbirova je sigurno deljiv sa 9, bez računanja?
Za koji od ovih brojeva je 8 delilac?
Zbir dva broja je 35. Jedan od njih je deljiv sa 7. Šta je sa drugim?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 4. Deljivost sa 2, 5 i 10 — kako poštar zna na kojoj je strani ulice kuća?