Deljenje sa ostatkom — koliko kutija napuni 50 jaja?
Deljenje sa ostatkom i bez ostatka, jednakost a = b · q + r gde je 0 ≤ r < b (deljenik, delilac, količnik, ostatak), nalaženje deljenika iz delioca, količnika i ostatka, mogući ostaci pri deljenju sa b, kad je deljenik manji od delioca, nula podeljena brojem i zabrana deljenja nulom, deljenje nije komutativno ni asocijativno, deljenje zbira brojem (m + n) : p = m : p + n : p, primena: pakovanje, prevoz i kalendar.
Video
Pojmovi
- Pakovanje jaja
- Baka ima 50 jaja i kutije za po 6. Napuni 8 kutija, jer je $6 \cdot 8 = 48$, a ostaju još 2 jaja: $50 = 6 \cdot 8 + 2$. Kažemo da je količnik pri deljenju 50 sa 6 jednak 8, a ostatak 2.
- Kalendar i ostaci
- Dani u nedelji ponavljaju se na svakih 7 dana, pa ostatak pri deljenju sa 7 kaže za koliko se dan pomera. Ako je danas ponedeljak, koji je dan posle 45 dana? $45 = 7 \cdot 6 + 3$: posle 6 punih nedelja opet je ponedeljak, a još 3 dana kasnije je četvrtak.
- Jednakost deljenja sa ostatkom
- Kad broj $a$ iz $N_0$ delimo prirodnim brojem $b$, uvek važi $a = b \cdot q + r$, gde je $0 \le r < b$. Tu je $a$ deljenik, $b$ delilac, $q$ količnik, a $r$ ostatak. U primeru sa jajima: 50 je deljenik, 6 delilac, 8 količnik i 2 ostatak.
- Kako naći deljenik
- Iz jednakosti $a = b \cdot q + r$ može se naći broj koji je deljen, ako znamo ostalo. Učiteljica je podelila kredu u 8 kutija po 12 komada i ostalo joj je 5 komada krede. Koliko krede je imala? $8 \cdot 12 + 5 = 101$.
- Ostatak je manji od delioca
- Ostatak mora biti manji od delioca. Kad bi baki ostalo 7 jaja, a kutija prima 6, napunila bi još jednu kutiju. Zato pri deljenju sa 6 ostatak može biti samo 0, 1, 2, 3, 4 ili 5, a pri deljenju sa $b$ moguće je $b$ različitih ostataka: od 0 do $b - 1$. Najveći mogući ostatak je $b - 1$.
- Ostatak nula
- Kad ništa ne ostane, ostatak je nula i za $a$ kažemo da je deljiv sa $b$. Da je baka imala 54 jaja, napunila bi tačno 9 kutija: $54 = 6 \cdot 9 + 0$, pa je 54 deljiv sa 6. Kod 50 jaja ostatak je 2, pa 50 nije deljiv sa 6.
- Kad je deljenik manji
- Četiri jabuke ne mogu da se podele na devetoro dece tako da svako dobije celu jabuku: niko ne dobije nijednu, a sve četiri ostanu. Zato je $4 = 9 \cdot 0 + 4$ — kad delimo manji broj većim, u količniku je nula, a ostaje ceo broj koji smo delili.
- Nula i deljenje
- Nula podeljena bilo kojim prirodnim brojem daje nulu: $0 : 15 = 0$. Nulom se, međutim, ne može deliti: izraz $15 : 0$ nema vrednost, jer ne postoji broj koji pomnožen nulom daje 15.
- Deljenje zbira
- Kad 90 i 45 deliš sa 9, svejedno je da li prvo sabereš pa podeliš ili podeliš svaki broj pa sabereš — jer su oba deljiva sa 9: $(m + n) : p = m : p + n : p$. Na primer, $(90 + 45) : 9 = 10 + 5 = 15$. Ako sabirci nisu deljivi, prvo saberemo pa delimo: $(53 + 37) : 6 = 90 : 6 = 15$.
- Deljenje nije komutativno ni asocijativno
- Kod deljenja ne smemo da zamenimo mesta brojevima: $24 : 6 = 4$, a $6 : 24$ daje količnik 0 i ostatak 6. Ne smemo ni da pomeramo zagrade: $(48 : 4) : 2 = 6$, a $48 : (4 : 2) = 24$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | deljenik | — |
| $b$ | delilac ($b \ne 0$) | — |
| $q$ | količnik | — |
| $r$ | ostatak | — |
Ako je $r = 0$, broj $a$ je deljiv sa $b$. Ako je $a < b$, onda je $q = 0$ i $r = a$. $0 : b = 0$, a deljenje nulom nije moguće.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $m, n$ | sabirci deljivi sa $p$ | — |
| $p$ | prirodan broj | — |
Važi kad su oba sabirka deljiva sa p.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Koliki je ostatak pri deljenju 50 sa 6?
2. Koji ostatak NE može da se dobije pri deljenju nekog broja sa 9?
3. Šta je tačno za ostatak?
4. Kada je broj $a$ deljiv sa $b$?
5. Petoro dece treba da podeli 3 čokolade tako da svako dobije celu čokoladu. Koliki su količnik i ostatak?
6. Koliko različitih ostataka može da se dobije pri deljenju sa 12?
7. Koja jednakost je jednakost deljenja 95 sa 7 sa ostatkom ($0 \le r < 7$)?
8. Koliko je $0 : 23$?
9. Koliko je $(70 + 35) : 7$?
10. Ako je danas sreda, koji je dan posle 14 dana?
Rešeni zadaci
Odredi količnik i ostatak pri deljenju broja 1 000 sa 37 i zapiši jednakost.
-
$37 \cdot 27 = 999,\quad 37 \cdot 28 = 1\,036$Tražimo koliko najviše puta 37 staje u 1 000: 27 puta, jer je 28 već previše.
-
$1\,000 = 37 \cdot 27 + 1$Ostatak je $1\,000 - 999 = 1$, manji od 37.
Za izlet je prijavljeno 130 učenika, a u jedan minibus staje 18 putnika. Koliko minibusa treba?
-
$130 = 18 \cdot 7 + 4$Sedam minibusa preveze $126$ učenika.
-
Ostaju 4 učenika — i za njih treba još jedan minibus.Ostatak ne sme da ostane na stanici!
Danas je subota. Koji će dan biti posle 100 dana?
-
$100 = 7 \cdot 14 + 2$Posle 14 punih nedelja opet je subota.
-
Još 2 dana posle subote: nedelja, pa ponedeljak.Ostatak 2 pomera dan za dva.
Teodora je delila sličice: dala je svakoj od 9 drugarica po 16 sličica i ostalo joj je 7. Koliko je sličica imala?
-
$a = 9 \cdot 16 + 7 = 144 + 7 = 151$Deljenik = delilac · količnik + ostatak.
-
$151 : 9 = 16$, ostatak $7$Provera; ostatak 7 je manji od 9, kako i treba.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Na farmi je ubrano 349 jabuka i pakuju se u gajbice od po 43. Koliko jabuka ostane van punih gajbica?
Jovana je podelila orahe drugarima: svaki od 18 drugara dobio je po 8, a njoj je ostalo još 9. Koliko je oraha bilo na početku?
Koliki je količnik pri deljenju broja 482 sa 58? (Ostatak ne upisuj.)
Danas je četvrtak. Koji će dan biti posle 30 dana?
Koji je najveći ostatak koji može da se dobije kad se neki broj deli sa 13?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 3. Delioci i sadržaoci — na koliko načina mogu da se poređaju 24 stolice?