Svojstva računskih operacija — kako Marko za tri sekunde izračuna 25 · 37 · 4?

Skupovi N i N₀, sledbenik i prethodnik, poređenje na brojevnoj polupravoj, nazivi delova sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja, prioritet operacija i zagrade, komutativnost, asocijativnost i distributivnost, nula i jedinica u računu (deljenje nulom nije moguće), jednačine sa nepoznatim sabirkom, umanjenikom, umanjiocem, činiocem, deljenikom i deliocem, nejednačine u N₀.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/116

Video

Nastavnica na tabli napiše 25 · 37 · 4 i kaže: „Ko prvi izračuna, ne piše domaći.“ Dok ostali množe 25 sa 37, Marko posle tri sekunde podigne ruku: „Tri hiljade sedamsto!“ Nije bio brži sa množenjem — samo je promenio redosled. Kako i zašto je to dozvoljeno? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Markov trik: zameni mesta: Marko je prvo pomnožio 25 i 4, jer to daje okrugli broj 100, a tek onda 100 sa 37: $25 \cdot 37 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3\,700$. Smeo je to da uradi jer kod množenja (i kod sabiranja) redosled činilaca i način na koji ih grupišemo ne menjaju rezultat.
Komutativnost: Kad sabirci ili činioci zamene mesta, zbir i proizvod ostaju isti: $a + b = b + a$ i $a \cdot b = b \cdot a$. Na primer, $7 + 46 = 46 + 7$ i $9 \cdot 6 = 6 \cdot 9$. Za oduzimanje i deljenje to ne važi: $10 - 4 = 6$, a $4 - 10$ u $N_0$ nema ni vrednost.
Asocijativnost: Kad sabiramo ili množimo tri broja, svejedno je koja dva prvo spojimo zagradom: $(a + b) + c = a + (b + c)$ i $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Zato se zbir $46 + 38 + 54$ lakše računa kao $(46 + 54) + 38 = 100 + 38 = 138$. Kod oduzimanja zagrade nisu svejedno: $(10 - 4) - 2 = 4$, a $10 - (4 - 2) = 8$.
Distributivnost: Proizvod broja i zbira jednak je zbiru proizvoda: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Zato se $8 \cdot 125$ lako računa napamet: $8 \cdot 125 = 8 \cdot (100 + 25) = 800 + 200 = 1\,000$. Isto važi i za razliku: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.
Nula i jedinica: Dodavanje nule ne menja broj: $a + 0 = a$ — nula je neutralni element za sabiranje. Množenje jedinicom ne menja broj: $a \cdot 1 = a$ — jedinica je neutralni element za množenje. Svaki broj pomnožen nulom daje nulu: $a \cdot 0 = 0$. Nula podeljena bilo kojim brojem različitim od nule je nula: $0 : a = 0$. A deliti nulom nije moguće — izraz $a : 0$ nema vrednost.
Kad rezultat izađe iz N₀: Zbir i proizvod dva prirodna broja uvek su prirodni brojevi. Razlika i količnik ne moraju biti: $5 - 8$ i $7 : 2$ nemaju vrednost u skupu $N_0$ (kod $7 : 2$ možemo samo deliti sa ostatkom).
Kako se zovu delovi računa: Kod sabiranja $a + b = c$ brojevi $a$ i $b$ su sabirci, a $c$ je zbir. Kod oduzimanja $a - b = c$: $a$ je umanjenik, $b$ umanjilac, $c$ razlika. Kod množenja $a \cdot b = c$: $a$ i $b$ su činioci, $c$ je proizvod. Kod deljenja $a : b = c$: $a$ je deljenik, $b$ delilac, $c$ količnik; ako deljenje nije bez ostatka, ostaje i ostatak.
Šta se računa prvo: Množenje i deljenje imaju prednost pred sabiranjem i oduzimanjem, a operacije iste vrste računaju se redom, sleva nadesno: $40 - 24 : 4 + 3 = 40 - 6 + 3 = 37$. Ako hoćemo drugačiji redosled, koristimo zagrade — ono što je u zagradi računa se prvo: $(40 - 24) : 4 + 3 = 16 : 4 + 3 = 7$.
Skupovi N i N₀: Brojevi 1, 2, 3, 4, … su prirodni brojevi; njihov skup obeležavamo sa $N$. Kad mu dodamo i nulu, dobijamo skup $N_0$. Prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo: posle svakog postoji veći.
Sledbenik i prethodnik: Broj za jedan veći od broja $n$ je njegov sledbenik, $n + 1$; broj za jedan manji je prethodnik, $n - 1$. Sledbenik broja 99 je 100, a prethodnik broja 100 je 99. U skupu $N$ samo broj 1 nema prethodnika (a u $N_0$ samo 0).
Brojevna poluprava: Brojeve iz $N_0$ možemo poređati po polupravoj: 0 je na početku, a svaki sledeći broj za istu dužinu desno. Od dva broja manji je onaj koji je levo. Pišemo $3 < 8$ (3 je manje od 8) ili $8 > 3$, a $a \le b$ znači „$a$ je manje od $b$ ili mu je jednako“.
Jednačine: nepoznati deo računa: Ako ne znamo jedan deo računa, nalazimo ga iz ostalih: nepoznati sabirak — od zbira oduzmemo poznati sabirak ($x + 27 = 64 \Rightarrow x = 37$); nepoznati umanjenik — saberemo razliku i umanjilac; nepoznati umanjilac — od umanjenika oduzmemo razliku; nepoznati činilac — proizvod podelimo poznatim činiocem; nepoznati deljenik — pomnožimo količnik i delilac; nepoznati delilac — deljenik podelimo količnikom. Rešenje uvek proveri tako što ga vratiš u jednačinu.
Nejednačine u N₀: Nejednačina se rešava kao jednačina, a zatim se izaberu svi brojevi koji odgovaraju. Na primer, $x + 6 < 10$ daje $x < 4$, pa su rešenja 0, 1, 2 i 3. Pazi: kad je nepoznat umanjilac ili delilac, znak se okreće: $20 - x > 15$ daje $x < 5$ — što je umanjilac veći, razlika je manja. Kod delioca nula nikad nije rešenje, jer se nulom ne deli.

Formule

Komutativnost

a + b = b + a,\qquad a \cdot b = b \cdot a

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	brojevi iz $N_0$	—

Ne važi za oduzimanje i deljenje.

Asocijativnost

(a + b) + c = a + (b + c),\qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b, c$	brojevi iz $N_0$	—

Zagrade možemo pomeriti kod sabiranja i kod množenja.

Distributivnost

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b, c$	brojevi iz $N_0$	—

Isto važi i za razliku: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ (kad je $b \ge c$).

Nula i jedinica

a + 0 = a,\quad a \cdot 1 = a,\quad a \cdot 0 = 0,\quad 0 : a = 0\ (a \ne 0)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	broj iz $N_0$	—

Deljenje nulom nije moguće: $a : 0$ nema vrednost.

Sledbenik i prethodnik

n + 1,\qquad n - 1\ (n \ne 0)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$n$	broj iz $N_0$	—

Sledbenik je za jedan veći, prethodnik za jedan manji.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koji broj pripada skupu $N_0$, a ne pripada skupu $N$?

2. Koji je prethodnik broja 1 000?

3. Koje svojstvo kaže da je $a + b = b + a$?

4. Koliko je $56 \cdot 0 \cdot 13$?

5. Koliko je $36 - 12 : 4 + 1$?

6. Šta od navedenog nema vrednost?

7. Kako se zove broj koji se oduzima?

8. Kako se nalazi nepoznati deljenik u $x : 6 = 9$?

9. Šta je tačno za razliku dva prirodna broja?

10. Kako glasi nejednačina $30 - x > 24$ posle rešavanja?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Izračunaj na najlakši način: $287 + 156 + 13 + 44$.

$287 + 156 + 13 + 44 = (287 + 13) + (156 + 44)$

Zamenimo mesta sabircima i grupišemo ih tako da daju okrugle brojeve.
$= 300 + 200 = 500$

Okrugle brojeve sabiramo napamet.

Odgovor: 500.

Zadatak 2

Kolika je vrednost izraza $72 - 48 : 6 \cdot 2$, a kolika $(72 - 48) : 6 \cdot 2$?

$72 - 48 : 6 \cdot 2 = 72 - 8 \cdot 2 = 72 - 16 = 56$

Prvo deljenje i množenje, redom sleva nadesno, pa oduzimanje.
$(72 - 48) : 6 \cdot 2 = 24 : 6 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$

Prvo zagrada.

Odgovor: 56 i 8 — zagrade menjaju rezultat.

Zadatak 3

Ana je imala 400 dinara. Kupila je 5 istih svezaka i ostalo joj je 150 dinara. Koliko košta jedna sveska?

$400 - 5 \cdot x = 150$

x je cena jedne sveske; $5 \cdot x$ je ono što je potrošila.
$5 \cdot x = 400 - 150 = 250$

Nepoznati umanjilac: od umanjenika oduzmemo razliku.
$x = 250 : 5 = 50$

Nepoznati činilac: proizvod podelimo poznatim činiocem.
$400 - 5 \cdot 50 = 150$

Provera.

Odgovor: Jedna sveska košta 50 dinara.

Zadatak 4

U autobusu ima 52 mesta, a već sedi 45 putnika. Koliko još putnika može da sedne, ako niko ne ustaje?

$45 + x \le 52$

x je broj putnika koji još sednu.
$x \le 52 - 45 = 7$

Kao kod nepoznatog sabirka.

Odgovor: Najviše 7: x može biti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ili 7.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Reši jednačinu u skupu $N_0$: $x + 421 = 730$.

Zadatak 2

Reši jednačinu u skupu $N_0$: $x : 19 = 8$.

Zadatak 3

Odredi sva rešenja nejednačine $25 : x > 5$ u skupu $N_0$ (deljenje mora biti bez ostatka). Upiši sva rešenja, odvojena zarezom.

Zadatak 4

Koji zapis pokazuje kako se $7 \cdot 98$ lako računa napamet pomoću distributivnosti?

Zadatak 5

Koliko je $(45 + 15) : 5 - 2 \cdot 3$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 2. Deljenje sa ostatkom — koliko kutija napuni 50 jaja?