Odnos tačke, prave i ravni, određenost ravni — zašto su vrata nepomična tek kad zatvorimo rezu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Jedna prava nije dovoljna

Vrata su dobar model ravni, a šarke su dve tačke jedne prave. Vrata se okreću oko te prave i mogu da stanu u bezbroj položaja: kroz jednu pravu (pa i kroz jednu ili dve tačke) prolazi beskonačno mnogo ravni. Isto važi za tri kolinearne tačke — sve su na istoj pravoj, pa ni one ne određuju ravan.

Prava i tačka van nje

Kad zatvorimo rezu, dobijamo treću tačku koja nije na pravoj šarki — i vrata su nepomična. Prava i tačka van nje određuju tačno jednu ravan. Isto tako tri tačke koje nisu kolinearne određuju tačno jednu ravan; ravan određenu tačkama $K$, $L$, $M$ kratko pišemo $\alpha(K, L, M)$.

Tačka, prava i ravan

Tačka može da pripada ravni ili da joj ne pripada: $K \in \alpha$, $T \notin \alpha$. Ako dve različite tačke neke prave pripadaju ravni, onda joj pripada cela prava — ivica lenjira koja dodiruje sto u dve tačke cela leži na stolu.

Dve prave i ravan

Neka se prave $p$ i $q$ seku u tački $S$, i neka je $P$ još jedna tačka prave $p$, a $Q$ još jedna tačka prave $q$. Tačke $S$, $P$, $Q$ nisu kolinearne (inače bi $p$ i $q$ imale dve zajedničke tačke, pa bi bile ista prava), pa određuju ravan. Ta ravan sadrži po dve tačke svake prave, dakle obe prave — i to je jedina takva ravan. Paralelne prave su dve različite prave u jednoj ravni koje se ne seku; i one određuju tačno jednu ravan, jer dve tačke jedne i jedna tačka druge nisu kolinearne.

Komplanarne tačke

Četiri ili više tačaka koje pripadaju istoj ravni su komplanarne; svake tri tačke su uvek u nekoj ravni. Kod četiri tačke: ako nisu komplanarne, određuju četiri ravni (svaka trojka po jednu); ako su komplanarne, a nisu sve na jednoj pravoj, određuju jednu ravan; ako su sve na jednoj pravoj, kroz njih prolazi beskonačno mnogo ravni. Na kocki su komplanarna četiri temena svake strane, ali i četiri temena dve naspramne ivice koje nisu na istoj strani, na primer donje prednje i gornje zadnje ivice — te ivice leže na dve paralelne prave.

Koliko ravni određuje n tačaka

Neka je dato $n$ tačaka ($n \ge 4$), od kojih nikoje tri nisu kolinearne i nikoje četiri nisu komplanarne. Svaka trojka određuje ravan, i to svaka drugu — kad bi dve trojke dale istu ravan, u njoj bi bile bar četiri tačke. Biramo tri tačke jednu za drugom: prvu na $n$ načina, drugu na $n - 1$, treću na $n - 2$; tako je svaka trojka brojana $6$ puta (toliko ima redosleda tri tačke). Zato je broj ravni $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Paralelne prave i ravni

Svake dve od $n$ paralelnih pravih određuju po jednu ravan. Ako nikoje tri nisu u istoj ravni, ravni ima onoliko koliko parova pravih: $\frac{n(n-1)}{2}$. Ako je $k$ od njih u istoj ravni, a osim njih nikoje tri nisu u istoj ravni, parovi tih $k$ pravih daju samo jednu ravan, pa je ravni $\frac{n(n-1)}{2} - \frac{k(k-1)}{2} + 1$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.