Odnosi prave i ravni, normala na ravan, rastojanje tačke od ravni — koliko visoko lebdi dron?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Normala na ravan

Kad dron lebdi tačno iznad tačke $N$ igrališta, prava kroz dron i $N$ stoji „uspravno“ na igralište: sa svakom pravom igrališta koja prolazi kroz $N$ zaklapa prav ugao. Takva prava je normala na ravan, a tačka $N$ u kojoj ona prodire ravan (ima sa njom tačno jednu zajedničku tačku) je podnožje normale. Pišemo $n \perp \alpha$. Uspravan stub zastave je normala na ravan trga.

Rastojanje tačke od ravni

Rastojanje tačke $A$ od ravni $\alpha$ je dužina duži $AN$, gde je $N$ podnožje normale iz $A$ na $\alpha$ — visina drona je njegovo rastojanje od igrališta. To je najkraća duž od $A$ do ravni (vidi sledeći pojam). Kod kvadra je rastojanje temena od ravni strane na kojoj to teme nije jednako dužini ivice koja je normalna na tu stranu: na primer, teme gornje osnove je od ravni donje osnove udaljeno koliko je duga uspravna ivica.

Računanje rastojanja

Neka je $T$ tačka ravni različita od $N$. Normala $AN$ je normalna na pravu $NT$, pa je trougao $ANT$ pravougli, sa pravim uglom kod $N$, i važi $AT^2 = AN^2 + NT^2$. Zato je $AT$ (hipotenuza) uvek duže od $AN$ — normala je najkraća. Sve tačke ravni koje su od $A$ udaljene $s$ (gde je $s > AN$) imaju isto $NT^2 = s^2 - AN^2$, pa leže na kružnici sa centrom $N$ (kad je $s = AN$, to je samo tačka $N$).

Kako proveravamo normalu

Ne moramo da proveravamo sve prave kroz $N$: dovoljno je da je prava normalna na dve različite prave ravni koje prolaze kroz $N$. Jedna prava nije dovoljna — prava može biti normalna na jednu pravu ravni, a da je ipak kosa prema ravni (kao ručka metle naslonjena tako da zaklapa prav ugao sa jednom linijom na podu).

Jedna normala kroz tačku

Kroz tačku $P$ van ravni $\alpha$ prolazi tačno jedna normala na $\alpha$ (da postoji, prihvatamo; dokazujemo samo da ne mogu biti dve). Kad bi postojale dve, sa različitim podnožjima $R$ i $S$, prava $RS$ bi ležala u $\alpha$ i prolazila kroz oba podnožja, pa bi obe normale bile normalne na nju — trougao $PRS$ imao bi dva prava ugla, što nije moguće. Dve različite prave normalne na istu ravan su paralelne (to prihvatamo bez dokaza).

Tri položaja prave i ravni

Prava i ravan mogu da nemaju zajedničkih tačaka — tada je prava paralelna sa ravni ($q \parallel \beta$). Mogu da imaju tačno jednu zajedničku tačku — tada prava prodire ravan, a ta tačka je tačka prodora ($p \cap \alpha = \{Q\}$). Ako imaju dve različite zajedničke tačke, imaju i sve — prava leži u ravni ($r \subset \gamma$). Štap zabijen koso u zemlju prodire ravan tla, ivica stola leži u ravni stola, a konopac za veš razapet vodoravno iznad dvorišta paralelan je sa ravni tla.

Kada je prava paralelna sa ravni

Neka prava $q$ nije u ravni $\alpha$, a paralelna je sa pravom $p$ koja leži u $\alpha$. Prave $p$ i $q$ određuju ravan $\beta$. Kad bi $q$ imala zajedničku tačku $M$ sa $\alpha$, tačka $M$ ne bi bila na $p$ (paralelne prave nemaju zajedničkih tačaka), pa bi i $\alpha$ i $\beta$ sadržale pravu $p$ i tačku $M$ van nje — bile bi ista ravan, i $q$ bi ležala u $\alpha$. To nije tačno, pa je $q \parallel \alpha$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.