Mimoilazne prave — može li ruka krana da preseče ivicu ulice?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Mimoilazne prave oko nas

Stavi jednu olovku na sto, a drugu drži iznad stola, ali u drugom pravcu. Olovke se ne dodiruju (jedna je niže, druga više) i nisu paralelne — prave na kojima leže su mimoilazne. Mimoilazne prave nisu retkost: dve vodoravne prave na različitim visinama koje idu u različitim pravcima uvek se mimoilaze.

Kako pokazujemo da su prave mimoilazne

Prvi način: pokažemo da prave nemaju zajedničkih tačaka i da nisu paralelne — tada ne mogu biti u istoj ravni, jer bi se u njoj ili sekle ili bile paralelne. Drugi način: prava $a$ leži u ravni $\alpha$, a prava $b$ ima sa ravni $\alpha$ samo jednu zajedničku tačku $B$, koja nije na $a$. Tada su $a$ i $b$ mimoilazne: kad bi bile u jednoj ravni, ta ravan bi sadržala pravu $a$ i tačku $B$, pa bi to bila baš ravan $\alpha$ — a $b$ ne leži u $\alpha$.

Prave kroz tačku van date prave

Neka tačka $T$ nije na pravoj $a$. Prava $a$ i tačka $T$ određuju ravan $\alpha$. Kroz $T$ u toj ravni prolazi tačno jedna prava paralelna sa $a$, a sve ostale prave kroz $T$ u ravni $\alpha$ seku $a$. Svaka prava kroz $T$ koja nije u ravni $\alpha$ je mimoilazna sa $a$ (drugi način iznad) — takvih je beskonačno mnogo.

Mimoilazne prave nisu u jednoj ravni

Ako su prave $a$ i $b$ mimoilazne, nijedna ravan ne sadrži obe. Prava $a$ i bilo koja tačka prave $b$ određuju ravan u kojoj od prave $b$ leži samo ta jedna tačka. Različite tačke prave $b$ daju različite ravni kroz $a$ — kad bi dve dale istu ravan, u njoj bi bile dve tačke prave $b$, pa i cela prava $b$.

Tačke na dve mimoilazne prave

Neka je na pravoj $a$ dato $m$, a na pravoj $b$ dato $n$ tačaka ($m, n \ge 2$), a $a$ i $b$ su mimoilazne. Prave koje te tačke određuju su $a$, $b$ i sve prave koje spajaju tačku prave $a$ sa tačkom prave $b$: ukupno $m \cdot n + 2$. Svaka trojka koja nije cela na jednoj pravoj ima dve tačke na jednoj od pravih, pa njena ravan sadrži tu celu pravu. Zato su ravni: prava $a$ sa svakom tačkom prave $b$ i prava $b$ sa svakom tačkom prave $a$ — sve međusobno različite (prethodni pojam i to da nijedna ravan ne sadrži obe prave), ukupno $m + n$.

Četiri tačke koje nisu komplanarne

Neka tačke $P$, $Q$, $R$, $S$ nisu u istoj ravni (na primer, tri su na podu, a jedna na plafonu). Prave $PQ$ i $RS$ ne leže ni u jednoj ravni — kad bi ležale, u toj ravni bile bi sve četiri tačke. Zato nemaju ni zajedničkih tačaka (prave koje se seku su u jednoj ravni), pa su mimoilazne; takve prave kroz po dve od četiri tačke, bez zajedničkog temena, zovemo naspramne.

Mimoilazne ivice kocke

Svaka ivica kocke mimoilazna je sa četiri ivice. Kad saberemo za svih $12$ ivica, svaki par je brojan dvaput, pa kocka ima $\frac{12 \cdot 4}{2} = 24$ para mimoilaznih ivica.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.