Međusobni odnosi pravih — kako stoje šipke penjalice u obliku kocke?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Šipke kao prave

Šipke penjalice u obliku kocke su dobar model pravih u prostoru. Neke se sastaju u istom temenu, neke idu jedna pored druge u istom pravcu, a neke prolaze jedna mimo druge u različitim pravcima i nikad se ne dodiruju. Temena donje osnove obeležimo redom sa $K$, $L$, $M$, $N$, a temena iznad njih sa $K_1$, $L_1$, $M_1$, $N_1$ ($K_1$ je iznad $K$, $L_1$ iznad $L$ …).

Prvo pitanje: postoji li zajednička ravan?

Za dve prave prvo pitamo da li postoji ravan u kojoj su obe. Ako takve ravni nema, prave su mimoilazne — nemaju zajedničkih tačaka, a ne idu ni u istom pravcu. Ako takva ravan postoji, prave su u ravni, a tamo već znamo tri mogućnosti, opisane ispod. Zato mimoilaznih pravih nema u jednoj ravni.

Prave u istoj ravni

Dve prave jedne ravni mogu da imaju tačno jednu zajedničku tačku $S$ — tada se seku i pišemo $a \cap b = \{S\}$; mogu da nemaju nijednu zajedničku tačku — tada su paralelne, $a \parallel b$; ili mogu da imaju dve, pa i sve tačke zajedničke — tada su to iste prave, poklapaju se, $a \equiv b$ (i to računamo kao poseban slučaj paralelnosti). Za mimoilazne prave takođe važi $a \cap b = \varnothing$, pa uz zapis uvek kažemo i koje su.

Dve prave paralelne trećoj

Ako su prave $a$ i $c$ paralelne sa istom pravom $b$, onda su i one međusobno paralelne — to važi i u prostoru (ovo pravilo prihvatamo bez dokaza). Na kocki: $KL \parallel K_1L_1$ i $K_1L_1 \parallel N_1M_1$, pa je i $KL \parallel N_1M_1$, iako te dve ivice nisu na istoj strani kocke.

Kako ih razlikujemo

Prvo gledamo zajedničke tačke: dve (ili više) — poklapaju se, jedna — seku se. Ako nema zajedničkih tačaka, pitamo da li su u istoj ravni: ako jesu — paralelne su, ako nisu — mimoilazne su. Na kocki su mimoilazne, na primer, ivica donje osnove i bilo koja ivica gornje osnove koja joj nije paralelna.

Ivice kocke

Kocka ima $12$ ivica. Za svaku ivicu, od ostalih $11$: četiri je seku (po dve u svakom njenom temenu), tri su sa njom paralelne, a preostale četiri su sa njom mimoilazne. Dijagonala strane, na primer $KM$, seče šest ivica (po tri u $K$ i u $M$), nije paralelna ni sa jednom ivicom, a sa šest ivica je mimoilazna.

Presečne tačke pravih u ravni

U ravni dve različite prave se seku ili su paralelne, pa presečne tačke brojimo po parovima pravih koje nisu paralelne. Ako nikoje tri prave ne prolaze kroz istu tačku, svaki takav par daje posebnu tačku. Između $m$ paralelnih pravih jednog pravca i $n$ paralelnih pravih drugog pravca ima $m \cdot n$ presečnih tačaka, a $k$ pravih od kojih nikoje dve nisu paralelne seče se u $\frac{k(k-1)}{2}$ tačaka (broj parova, kao u času o određenosti prave).

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.