Odnos tačke i prave, određenost prave — koliko pravih žica treba za devet stubova?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Dve tačke određuju pravu

Kroz dve različite tačke prolazi tačno jedna prava — zato kažemo da dve tačke određuju pravu. Pravu kroz tačke $M$ i $N$ obeležavamo i sa $MN$. Isto vidimo kad zategnemo konac između dva eksera: ma koliko puta ga zategnemo, uvek leži na istoj pravoj. Ako tri stuba stoje u istom redu, jedna zategnuta žica prolazi kroz sva tri.

Tačka i prava

Tačka može da pripada pravoj (leži na njoj) ili da joj ne pripada. Pišemo $M \in p$ (čita se „$M$ pripada pravoj $p$“) i $K \notin p$ („$K$ ne pripada pravoj $p$“). Kroz jednu tačku prolazi beskonačno mnogo pravih — jednom tačkom prava još nije određena.

Kolinearne tačke

Tri ili više tačaka koje leže na istoj pravoj su kolinearne. Tri tačke koje nisu kolinearne određuju tri prave, a tri kolinearne tačke samo jednu. Zato $n$ različitih tačaka određuje najmanje jednu pravu (kad su sve kolinearne), a najviše onda kada nikoje tri nisu kolinearne. Ako su $K$, $L$, $M$ kolinearne i $L$, $M$, $N$ kolinearne, sve četiri su na jednoj pravoj — obe prave prolaze kroz $L$ i $M$, pa su ista prava.

Koliko pravih određuje n tačaka

Neka nikoje tri tačke nisu kolinearne. Dodajmo tačke jednu po jednu: druga tačka sa prvom daje $1$ pravu, treća sa prethodnim dvema još $2$, četvrta još $3$, i tako dalje, a $n$-ta još $n - 1$. Ukupno je $1 + 2 + \ldots + (n - 1)$. Napišimo taj zbir dvaput, jednom unapred i jednom unazad, jedan ispod drugog: sabirci jedan ispod drugog uvek daju $n$, a takvih kolona ima $n - 1$. Dvostruki zbir je $n(n - 1)$, pa je broj pravih $\frac{n(n-1)}{2}$. Isto dobijamo i ovako: iz svake tačke polazi $n - 1$ pravih, ukupno $n(n - 1)$, ali je tako svaka prava brojana dvaput — jednom iz svake od svojih dveju tačaka.

Kad je k tačaka kolinearno

Ako je među $n$ tačaka njih $k$ na jednoj pravoj, a osim toga nikoje tri nisu kolinearne, parovi tih $k$ tačaka ne daju $\frac{k(k-1)}{2}$ različitih pravih, nego samo jednu. Zato je broj pravih $\frac{n(n-1)}{2} - \frac{k(k-1)}{2} + 1$, a to je za $\frac{k(k-1)}{2} - 1$ manje nego kad nikoje tri tačke nisu kolinearne.

Duži

Svake dve različite tačke određuju jednu duž, pa $n$ tačaka uvek određuje $\frac{n(n-1)}{2}$ duži — bez obzira na to da li su neke kolinearne. Na primer, $n$ tačaka jedne prave određuje samo jednu pravu, ali $\frac{n(n-1)}{2}$ duži.

Geometrija prostora i oznake

Do sada smo uglavnom posmatrali figure u jednoj ravni (planimetrija), a sada i figure u prostoru — sobu, kocku, zgradu (stereometrija). Tačku, pravu i ravan ne definišemo, nego ih zamišljamo: tačka je trag šiljka olovke, prava je zategnuta nit bez kraja na obe strane, a ravan je glatka površina stola koja se pruža u svim pravcima bez kraja. Tačke obeležavamo velikim slovima latinice ($A$, $M$, …), prave malim slovima ($a$, $p$, …), a ravni malim grčkim slovima: $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama). Ravan crtamo kao paralelogram, kao list papira gledan ukoso.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.