Primena sličnosti — zanimljivosti: kako novčić otkriva koliki je Mesec?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Isti ugao kod oka

Kad bliži predmet taman pokrije dalji, zraci od oka do ivica bližeg predmeta prolaze i kroz ivice daljeg. Ako su oba predmeta normalna na pravac gledanja (pa su paralelna), dobijamo dva trougla sa zajedničkim uglom u oku, a uglovi uz predmete su saglasni. Trouglovi su slični po stavu UU, pa je veličina prema udaljenosti ista za oba predmeta: $d : D = X : Y$, gde su obe dužine u svakom odnosu u istoj jedinici. Na tome radi i merenje palcem: palac na ispruženoj ruci je oko $30$ puta dalje od oka nego što je širok, pa predmet koji palac taman pokrije ima isti odnos udaljenosti i veličine.

Novčić, Mesec i Sunce

Novčić zalepljen na prozor, gledan sa odgovarajuće udaljenosti, taman pokrije pun Mesec. Iz odnosa udaljenosti i prečnika novčića i poznate udaljenosti Meseca dobijamo prečnik Meseca, nešto što nikad nismo dodirnuli. Prečnik Sunca je oko $400$ puta veći od prečnika Meseca, a Sunce je od nas i oko $400$ puta dalje nego Mesec, pa na nebu izgledaju gotovo isto veliki. Zato Mesec pri pomračenju može da prekrije Sunce — nekad potpuno, a nekad ostane tanak svetao prsten. U Sunce nikad ne gledaj direktno, ni kroz novčić ni kroz obično staklo!

Visina iz senke

Sunce je toliko daleko da su njegovi zraci praktično paralelni. Uspravan štap i uspravno drvo sa svojim senkama grade pravougle trouglove; pravi uglovi su kod tla, a zraci padaju pod istim uglom, pa su trouglovi slični po stavu UU. Zato je u istom trenutku visina prema dužini senke ista za štap i za drvo: $a : s = H : S$. Senke merimo u isto vreme, jer se tokom dana menjaju.

Projektor

Zraci iz projektora izlaze iz jedne tačke (sočiva) i šire se. Slika na zidu i ploča sa slikom u projektoru su paralelne, pa su trouglovi sa temenom u sočivu slični: dok se zum ne menja, širina slike na zidu prema udaljenosti od zida uvek je isti broj. Kad projektor odmaknemo dvaput dalje, slika je dvaput šira i dvaput viša; kad ga primaknemo, slika je manja.

Pantograf

Pantograf je sprava od četiri šipke spojene u paralelogram, kojom se crtež precrtava uvećan. Tačka $O$ je pričvršćena za sto, šiljak $T$ prati originalni crtež, a olovka $P$ crta kopiju. Tačke $O$, $T$ i $P$ su uvek na istoj pravoj, a odnos $OP : OT = k$ je uvek isti. Za bilo koje dve tačke originala $T_1$ i $T_2$ i njihove kopije $P_1$ i $P_2$, trouglovi $OT_1T_2$ i $OP_1P_2$ imaju zajednički ugao kod $O$ i $OP_1 : OT_1 = OP_2 : OT_2 = k$, pa su slični po stavu SUS. Zato je $P_1P_2 = k \cdot T_1T_2$: kopija je slična originalu, a $k$ je koeficijent sličnosti.

Papir formata A

Kad list A4 presečemo napola tako da se duža stranica prepolovi, dobijamo dva lista A5; dva lista A4 spojena po dužoj stranici čine A3. Format je izabran tako da polovina bude slična celom listu. Ako su stranice $a > b$, polovina ima stranice $b$ i $\frac{a}{2}$, pa mora biti $a : b = b : \frac{a}{2}$, tj. $a^2 = 2b^2$ i $a = b \cdot \sqrt{2} \approx 1{,}414 \cdot b$.

Kako rešavamo ovakve zadatke

Prvo nađemo dva slična trougla: zajedničko teme (oko, sočivo, tačka $O$) ili paralelne zrake, i paralelne ili uspravne predmete. Onda napišemo jednak odnos odgovarajućih dužina, sve u istoj jedinici, i izračunamo nepoznatu.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.