Primena sličnosti na pravougli trougao — koliko je visok stub ispod slemena krova?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Visina deli trougao na dva slična

Neka je $KLM$ pravougli trougao sa pravim uglom kod $M$, i neka je $MN$ visina na hipotenuzu $KL$ — kao stub ispod slemena krova. Ona deli trougao na dva manja pravougla trougla, $LMN$ i $MKN$. Svaki od njih ima prav ugao (kod $N$) i jedan oštar ugao zajednički sa velikim trouglom ($\angle L$, odnosno $\angle K$), pa je po stavu UU: $\triangle LNM \sim \triangle LMK$ i $\triangle MNK \sim \triangle LMK$, a onda su i dva mala trougla slična među sobom. Zato je $\angle LMN = \angle K$ i $\angle NMK = \angle L$.

Oznake

Katete su $a = LM$ i $b = KM$, hipotenuza je $c = KL$, a visina na hipotenuzu je $h = MN$. Podnožje $N$ deli hipotenuzu na dva odsečka: $p = LN$ (uz katetu $a$) i $q = NK$ (uz katetu $b$), pa je $c = p + q$. Svaki odsečak je „senka“ svoje katete na hipotenuzi.

Visina je geometrijska sredina odsečaka

Iz sličnosti dva mala trougla ($\triangle LNM \sim \triangle MNK$) sledi $p : h = h : q$, tj. $h^2 = p \cdot q$. Broj $\sqrt{x \cdot y}$ zovemo geometrijska sredina brojeva $x$ i $y$ (za pozitivne $x$ i $y$), pa je visina na hipotenuzu geometrijska sredina odsečaka: $h = \sqrt{p \cdot q}$. Na primer, za $p = 2$ cm i $q = 8$ cm visina je $\sqrt{16} = 4$ cm.

Konstrukcija duži dužine √n

Duž dužine $\sqrt{n}$ cm možemo konstruisati kao visinu pravouglog trougla čiji su odsečci $p$ i $q$ takvi da je $p \cdot q = n$. Nacrtamo duž dužine $p + q$ i nad njom polukrug (prečnik je ta duž). U tački koja deli prečnik na delove $p$ i $q$ podignemo normalu do polukruga. Ugao nad prečnikom je prav, pa je ta normala visina pravouglog trougla i duga je $\sqrt{p \cdot q} = \sqrt{n}$.

Kateta i njen odsečak

Iz sličnosti malog trougla $LNM$ i velikog $LMK$ (zajednički ugao $L$) sledi $p : a = a : c$, tj. $a^2 = p \cdot c$. Isto tako, iz $\triangle MNK \sim \triangle LMK$ dobijamo $b^2 = q \cdot c$. Svaka kateta je geometrijska sredina hipotenuze i svog odsečka (onog koji je uz nju).

Kako rešavamo zadatke

Od šest veličina $a$, $b$, $c$, $h$, $p$ i $q$ obično su dovoljne dve da se izračunaju sve ostale. Biramo jednakost u kojoj je samo jedna nepoznata: $h^2 = p \cdot q$, $a^2 = p \cdot c$, $b^2 = q \cdot c$ ili $c = p + q$. Korisna je i površina napisana na dva načina: $P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$, tj. $a \cdot b = c \cdot h$. Pravougli trougao sa hipotenuzom $c$ i visinom $h$ na nju postoji tačno kad je $0 < h \le \frac{c}{2}$, jer je teme pravog ugla na polukrugu nad hipotenuzom, a polukrug je visok $\frac{c}{2}$.

Pitagorina teorema iz sličnosti

Pogledajmo $c^2$: $c \cdot c = c \cdot (p + q) = c \cdot p + c \cdot q$. Prvi sabirak je $a^2$, a drugi $b^2$ (to smo dobili iz sličnosti), pa je $c^2 = a^2 + b^2$ — Pitagorina teorema, sada izvedena pomoću sličnih trouglova.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.