Talesova teorema — koliko je dug deo bulevara između dve paralelne ulice?

Talesova teorema o proporcionalnim odsečcima: paralelne prave odsecaju na dvema pravama proporcionalne odsečke (i njihovi zbirovi su proporcionalni); prava paralelna sa stranicom trougla; dve paralele na kracima ugla: SM : SN = SM₁ : SN₁ = MM₁ : NN₁; izvedene proporcije; kraci unakrsnih uglova; razlika od Talesove teoreme o uglu nad prečnikom.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/261

Video

Tri paralelne ulice seku dva bulevara. Na prvom bulevaru deo između prve i druge ulice dug je sto dvadeset metara, a između druge i treće sto osamdeset. Na drugom bulevaru prvi deo dug je sto pedeset metara. Koliko je dug drugi deo? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Paralele seku dve prave: Bulevari su kao dve prave $m$ i $n$, a ulice kao paralele koje ih seku: pravu $m$ u tačkama $T$, $U$, $V$, a pravu $n$ u tačkama $T_1$, $U_1$, $V_1$ (tim redom). Odgovarajući odsečci su oni između istih dveju paralela, na primer $TU$ i $T_1U_1$. Talesova teorema kaže da su odgovarajući odsečci proporcionalni: $TU : UV = T_1U_1 : U_1V_1$. Isto važi i za zbirove: deo i celina su u istom odnosu na obe prave, $TU : TV = T_1U_1 : T_1V_1$, i to kod bilo koliko paralela. Ako paralele na jednoj pravoj odsecaju jednake odsečke, i na drugoj odsecaju jednake.
Paralela sa stranicom trougla: Najčešća primena: prava paralelna sa stranicom $ST$ trougla $RST$ seče stranicu $RS$ u tački $K$, a stranicu $RT$ u tački $L$. Tada je $RK : KS = RL : LT$, a za samu duž $KL$ važi $RK : RS = RL : RT = KL : ST$ — duž $KL$ poredimo sa $ST$ preko celih stranica od temena $R$, a ne preko delova $RK$ i $KS$. Iz tri poznate dužine računamo četvrtu.
Paralele na kracima ugla: Neka su $M$ i $N$ tačke jednog kraka ugla sa temenom $S$ ($M$ između $S$ i $N$), a $M_1$ i $N_1$ tačke drugog kraka, tako da je $MM_1 \parallel NN_1$. Tada je $SM : SN = SM_1 : SN_1 = MM_1 : NN_1$: duži $MM_1$ i $NN_1$ su u istom odnosu kao rastojanja $SM$ i $SN$ njihovih krajeva od temena.
Deo i celina: Pošto je $MN = SN - SM$ i $M_1N_1 = SN_1 - SM_1$, važi i $SM : MN = SM_1 : M_1N_1$. Isto tako, iz $SM : SN = MM_1 : NN_1$ sledi $SM : MN = MM_1 : (NN_1 - MM_1)$: kad od drugog i četvrtog člana oduzmemo prvi i treći, proporcija i dalje važi. Pazimo samo da u svakoj razmeri budu odgovarajući odsečci.
Kraci unakrsnih uglova: Ako tačka $S$ leži između $M$ i $N$ i između $M_1$ i $N_1$, paralele $MM_1$ i $NN_1$ seku krake koji su jedan drugom suprotni — krake dva unakrsna ugla. Proporcije ostaju iste: $SM : SN = SM_1 : SN_1 = MM_1 : NN_1$, samo što su $M$ i $N$ sada sa raznih strana tačke $S$.
Dve Talesove teoreme: U sedmom razredu Talesova teorema je govorila o uglu nad prečnikom (periferijski ugao nad prečnikom je prav). Ovde je reč o drugoj teoremi istog matematičara — o proporcionalnim odsečcima koje odsecaju paralelne prave. Po sadržaju lako ih razlikujemo: jedna govori o krugu, a druga o paralelama.

Formule

Paralele seku dve prave

TU : UV = T_1U_1 : U_1V_1, \qquad TU : TV = T_1U_1 : T_1V_1

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$T, U, V$	preseci paralela sa pravom $m$	—
$T_1, U_1, V_1$	preseci sa pravom $n$	—

Jednaki odsečci na jednoj pravoj daju jednake odsečke na drugoj.

Paralela sa stranicom trougla

RK : RS = RL : RT = KL : ST

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$KL \parallel ST$	$K$ na $RS$, $L$ na $RT$	—

Delovi stranica: $RK : KS = RL : LT$.

Paralele na kracima ugla

SM : SN = SM_1 : SN_1 = MM_1 : NN_1

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$S$	teme ugla	—
$M, N$ i $M_1, N_1$	tačke na jednom i na drugom kraku	—
$MM_1 \parallel NN_1$	dve paralele	—

Važi i za krake unakrsnih uglova; izvedeno: $SM : MN = SM_1 : M_1N_1$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Paralelne prave seku dve prave. Kakvi su odgovarajući odsečci koje odsecaju na njima?

2. Paralele odsecaju jednake odsečke na jednoj od dve prave koje seku. Kakvi su odsečci na drugoj pravoj?

3. Tačke $M$ i $N$ su na jednom, a $M_1$ i $N_1$ na drugom kraku ugla sa temenom $S$. Kada sigurno važi $SM : SN = SM_1 : SN_1$?

4. Uz $MM_1 \parallel NN_1$ je $SM = 3{,}5$ cm, $SN = 5$ cm i $SM_1 = 7$ cm. Koliko je $SN_1$?

5. Koja razmera je jednaka razmeri $MM_1 : NN_1$ ako je $MM_1 \parallel NN_1$?

6. U trouglu $RST$ je $KL \parallel ST$ ($K$ na $RS$, $L$ na $RT$) i $RK : KS = 1 : 2$. Koliki deo stranice $RT$ je $RL$?

7. Dve paralele seku dve prave sa različitih strana njihovog preseka $S$. Da li važi Talesova teorema?

8. O čemu govori Talesova teorema iz ovog časa?

9. Uz $MM_1 \parallel NN_1$ je $SM : MN = 2 : 3$ i $SM_1 = 8$ cm. Koliko je $M_1N_1$?

10. U trouglu $RST$ je $KL \parallel ST$ ($K$ na $RS$, $L$ na $RT$) i $RK = 2 \cdot KS$. Koliki deo duži $ST$ je $KL$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Tri paralelne ulice seku dva bulevara. Na prvom bulevaru delovi između ulica su $120$ m i $180$ m, a na drugom prvi deo je $150$ m. Koliki je drugi deo?

$120 : 180 = 150 : x$

Talesova teorema: odgovarajući delovi bulevara su proporcionalni.
$120 \cdot x = 180 \cdot 150 = 27\,000, \quad x = 27\,000 : 120 = 225$

Proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih članova.

Odgovor: $225$ m

Zadatak 2

Na jednom kraku ugla sa temenom $S$ su tačke $M$ i $N$ ($M$ između $S$ i $N$), a na drugom $M_1$ i $N_1$, i $MM_1 \parallel NN_1$. Ako je $SM = 4{,}5$ cm, $MN = 7{,}5$ cm, $SM_1 = 6$ cm i $MM_1 = 3$ cm, izračunaj $SN_1$ i $NN_1$.

$SN = 4{,}5 + 7{,}5 = 12\ \mathrm{cm}$

Ceo odsečak kraka od temena do druge paralele.
$4{,}5 : 12 = 6 : SN_1, \quad SN_1 = \frac{12 \cdot 6}{4{,}5} = 16\ \mathrm{cm}$

$SM : SN = SM_1 : SN_1$.
$4{,}5 : 12 = 3 : NN_1, \quad NN_1 = \frac{12 \cdot 3}{4{,}5} = 8\ \mathrm{cm}$

$SM : SN = MM_1 : NN_1$.

Odgovor: $SN_1 = 16$ cm, $NN_1 = 8$ cm

Zadatak 3

U trouglu $RST$ prava paralelna sa $ST$ seče $RS$ u tački $K$ i $RT$ u tački $L$. Ako je $RK = 3$ cm, $KS = 5$ cm, $RL = 4{,}5$ cm i $ST = 16$ cm, izračunaj $LT$ i $KL$.

$3 : 5 = 4{,}5 : LT, \quad LT = 7{,}5\ \mathrm{cm}$

$RK : KS = RL : LT$.
$RS = 3 + 5 = 8\ \mathrm{cm}$

Za duž $KL$ treba cela stranica $RS$.
$3 : 8 = KL : 16, \quad KL = 6\ \mathrm{cm}$

$RK : RS = KL : ST$.

Odgovor: $LT = 7{,}5$ cm, $KL = 6$ cm

Zadatak 4

Prave $MN$ i $M_1N_1$ seku se u tački $S$ koja je između $M$ i $N$ i između $M_1$ i $N_1$, a $MM_1 \parallel NN_1$. Ako je $SM = 4$ cm, $SN = 6$ cm, $SM_1 = 5$ cm i $MM_1 = 3$ cm, izračunaj $SN_1$ i $NN_1$.

$4 : 6 = 5 : SN_1, \quad SN_1 = 7{,}5\ \mathrm{cm}$

Kraci unakrsnih uglova: teorema i dalje važi.
$4 : 6 = 3 : NN_1, \quad NN_1 = 4{,}5\ \mathrm{cm}$

Razmera paralelnih duži jednaka je razmeri odsečaka od tačke $S$.

Odgovor: $SN_1 = 7{,}5$ cm, $NN_1 = 4{,}5$ cm

Zadatak 5

Kosa nadstrešnica počinje na tlu, a drže je uspravni stubovi. Stub koji je $2$ m od početka nadstrešnice (mereno po tlu) visok je $1{,}2$ m. Koliko je visok stub udaljen $5$ m od početka?

$2 : 5 = 1{,}2 : h$

Tlo i nadstrešnica su kraci ugla, a uspravni stubovi su paralelni.
$h = \frac{5 \cdot 1{,}2}{2} = 3\ \mathrm{m}$

$SM : SN = MM_1 : NN_1$.

Odgovor: $3$ m

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Paralelne prave seku pravu $m$ u tačkama $T, U, V, W$, a pravu $n$ u tačkama $T_1, U_1, V_1, W_1$ (tim redom). Na pravoj $m$ je $TU = 4$ cm, $UV = 12$ cm, $VW = 6$ cm. Ako je $T_1U_1 = 5$ cm, koliko je $T_1W_1$ (u cm)?

Zadatak 2

U trouglu $RST$ prava paralelna sa stranicom $ST$ seče stranicu $RS$ u tački $K$, a stranicu $RT$ u tački $L$. Tačka $K$ deli stranicu $RS$ u razmeri $RK : KS = 3 : 1$. Obim trougla $RST$ je $30$ cm. Koliki je obim trougla $RKL$ (u cm)?

Zadatak 3

Kosa rampa počinje na tlu, a ispod nje su uspravni stubići visoki $1$ m i $2{,}5$ m, međusobno udaljeni $4{,}5$ m (mereno po tlu). Koliko je niži stubić udaljen od početka rampe (u m)?

Zadatak 4

U trouglu $RST$ je $KL \parallel ST$ ($K$ na $RS$, $L$ na $RT$). Koja jednakost sigurno važi?

Zadatak 5

Paralele $MM_1$ i $NN_1$ seku dve prave sa raznih strana njihovog preseka $S$. Ako je $SM = SN$, šta važi?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 3. Primena Talesove teoreme u konstrukcijama — kako traku od jednog metra podeliti na tri jednaka dela?