Stavovi sličnosti trouglova — kako kutija sa rupicom otkriva visinu drveta?
Stavovi sličnosti UU, SUS i SSS: šta je dovoljno da dva trougla budu slična; ugao mora biti između stranica (SUS); odgovarajuća temena iz parova stranica (SSS); jednaki uglovi iz unakrsnih, saglasnih, naizmeničnih i pravih uglova; prava paralelna sa stranicom odseca sličan trougao (merdevine u obliku slova A); kamera sa rupicom.
Video
Pojmovi
- Stav sličnosti je prečica
- Po definiciji su slični trouglovi koji imaju tri para jednakih uglova; tada su im i odgovarajuće stranice proporcionalne. Stavovi sličnosti kažu da je za sličnost dovoljno manje, ili da se može proveriti preko stranica — dovoljan je jedan od tri skupa uslova opisanih ispod. Kad tako pokažemo da su trouglovi slični, važi i sve ostalo: svi odgovarajući uglovi su jednaki, a sve odgovarajuće stranice proporcionalne.
- Stav UU (ugao–ugao)
- Ako su dva ugla jednog trougla jednaka dvama uglovima drugog, trouglovi su slični — treći uglovi su tada jednaki, jer je zbir uglova $180^\circ$. To je stav koji se najčešće koristi, jer jednake uglove lako prepoznajemo: unakrsni uglovi, uglovi uz paralelne prave (saglasni i naizmenični), ugao koji je zajednički za oba trougla i pravi uglovi. Samo jedan par jednakih uglova nije dovoljan.
- Stav SUS (stranica–ugao–stranica)
- Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog, a uglovi između tih stranica jednaki, trouglovi su slični. Na primer, trougao sa stranicama $4$ cm i $6$ cm i uglom od $50^\circ$ između njih sličan je trouglu sa stranicama $6$ cm i $9$ cm i uglom od $50^\circ$ između njih ($6 : 4 = 9 : 6$). Ugao mora biti baš onaj između tih stranica: jednak ugao koji nije između njih ne garantuje sličnost (na primer, kad je naspram kraće od te dve stranice).
- Stav SSS (stranica–stranica–stranica)
- Ako su sve tri stranice jednog trougla proporcionalne stranicama drugog, trouglovi su slični. Stranice sparujemo po veličini, a iz parova stranica čitamo i odgovarajuća temena: dve stranice koje se sastaju u jednom temenu odgovaraju dvema stranicama koje se sastaju u jednom temenu drugog trougla, i ta dva temena su odgovarajuća. Ako $DE$ odgovara $YZ$, a $DF$ odgovara $XY$, onda $D$ odgovara $Y$, pa je $\angle D = \angle Y$.
- Prava paralelna sa stranicom
- Neka prava paralelna sa stranicom $LM$ trougla $KLM$ seče $KL$ u tački $P$ i $KM$ u tački $Q$. Tada je $\triangle KPQ \sim \triangle KLM$ po stavu UU: ugao $K$ je zajednički, a $\angle KPQ = \angle KLM$ kao saglasni uglovi. Zato je $KP : KL = KQ : KM = PQ : LM$. Isto je rekla i Talesova teorema; sada to vidimo i kao posledicu sličnosti.
- Kako izabrati stav
- Pogledaj šta je dato. Tri stranice — stav SSS; dve stranice i ugao između njih — stav SUS; uglovi, paralelne prave, unakrsni ili pravi uglovi — stav UU. Ako nijedan stav ne može da se primeni, trouglovi ne moraju biti slični.
- Kamera sa rupicom
- Visinu drveta ne možemo izmeriti trakom, ali možemo napraviti mali trougao sličan velikom i izmeriti njega. U kameri sa rupicom zraci se seku u rupici, pa su uglovi kod rupice unakrsni. Kutija stoji uspravno, pa su drvo i zadnji zid sa slikom paralelni, a uglovi kod vrha drveta i vrha slike naizmenični. Trouglovi su slični po stavu UU, pa je visina drveta prema visini slike isto što i udaljenost drveta prema dubini kutije — obe dužine u svakom odnosu moraju biti u istoj jedinici. Što je drvo dalje, slika je manja: dvaput dalje — dvaput niža slika, jer proizvod visine slike i udaljenosti ostaje isti.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\angle D, \angle E$ | dva ugla trougla $DEF$ | ° |
Treći par uglova je tada jednak, jer je zbir uglova $180^\circ$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\angle D$ | ugao između stranica $DE$ i $DF$ | ° |
Ugao mora biti između tih dveju stranica.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $DE, EF, FD$ | stranice trougla $DEF$ | cm |
Stranice sparujemo po veličini.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Dva trougla imaju po dva jednaka ugla. Po kom stavu su slični?
2. Kod stava SUS dve stranice su proporcionalne. Koji ugao mora biti jednak u oba trougla?
3. Dva trougla imaju po jedan ugao od $50^\circ$. Šta možemo da zaključimo?
4. U trouglu $KLM$ prava $PQ$ ($P$ na $KL$, $Q$ na $KM$) paralelna je sa $LM$. Koji trouglovi su sigurno slični?
5. Kod kamere sa rupicom, zašto su uglovi kod rupice jednaki?
6. U trouglu $KLM$ prava $PQ$ paralelna je sa $LM$ ($P$ na $KL$, $Q$ na $KM$). Zašto je $\angle KPQ = \angle KLM$?
7. Za trouglove $DEF$ i $XYZ$ važi $DE : XY = DF : XZ$. Šta još treba da važi da bi bili slični po stavu SUS?
8. Za trouglove $DEF$ i $XYZ$ važi $DE : YZ = EF : ZX = FD : XY$. Kom uglu trougla $XYZ$ je jednak ugao $F$?
9. Kod kamere sa rupicom, zašto su drvo i njegova slika na zadnjem zidu paralelni?
10. Šta tvrdi stav SSS?
Rešeni zadaci
Drvo je $12$ m od rupice kutije duboke $30$ cm, a slika drveta na zadnjem zidu visoka je $15$ cm. Koliko je drvo visoko?
-
stav UUUglovi kod rupice su unakrsni, a uglovi kod vrha drveta i vrha slike naizmenični, pa su trougao sa drvetom i trougao sa slikom slični.
-
$12\ \mathrm{m} = 1200\ \mathrm{cm}, \quad 1200 : 30 = 40$Drvo je $40$ puta dalje od rupice nego zadnji zid.
-
$h = 40 \cdot 15 = 600\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{m}$Odgovarajuće stranice su u istom odnosu, pa je drvo i $40$ puta više od slike.
Stranice trougla $DEF$ su $DE = 6$ cm, $EF = 12$ cm i $FD = 10$ cm, a trougla $XYZ$ su $XY = 15$ cm, $YZ = 18$ cm i $ZX = 9$ cm. Da li su slični i kom uglu trougla $XYZ$ je jednak ugao $E$?
-
$DE, FD, EF = 6, 10, 12; \quad ZX, XY, YZ = 9, 15, 18$Poređamo stranice po veličini.
-
$\frac{9}{6} = \frac{15}{10} = \frac{18}{12} = 1{,}5$Stav SSS: trouglovi su slični.
-
$E \leftrightarrow Z$$E$ je teme gde se sastaju $DE$ i $EF$, a njihovi parovi $ZX$ i $YZ$ sastaju se u $Z$; isto tako $D \leftrightarrow X$, $F \leftrightarrow Y$.
U trouglovima $DEF$ i $XYZ$ je $DE = 8$ cm, $DF = 5$ cm, $XY = 20$ cm, $XZ = 12{,}5$ cm i $\angle D = \angle X$. Da li su slični? Ako je $EF = 7$ cm, koliko je $YZ$?
-
$\frac{XY}{DE} = \frac{20}{8} = 2{,}5, \quad \frac{XZ}{DF} = \frac{12{,}5}{5} = 2{,}5$Dve stranice su proporcionalne.
-
$\angle D = \angle X$Ugao je između tih stranica — stav SUS, trouglovi su slični.
-
$YZ = 2{,}5 \cdot 7 = 17{,}5\ \mathrm{cm}$I treće stranice su u istom odnosu.
Merdevine u obliku slova A imaju krake $KL$ i $KM$ duge po $2{,}4$ m. Prečka $PQ$ je paralelna sa podom, krajevi su joj na kracima $0{,}8$ m od vrha $K$ ($KP = KQ = 0{,}8$ m), a duga je $0{,}5$ m. Koliko su udaljeni krajevi merdevina na podu ($LM$)?
-
$PQ \parallel LM \ \Rightarrow \ \triangle KPQ \sim \triangle KLM$Stav UU: ugao $K$ je zajednički, a uglovi kod $P$ i $L$ su saglasni.
-
$KL : KP = 2{,}4 : 0{,}8 = 3$Veliki trougao je $3$ puta veći.
-
$LM = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \mathrm{m}$Odgovarajuće stranice su u istom odnosu.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Kad je kamera sa rupicom $40$ m od drveta, slika drveta na zadnjem zidu visoka je $7{,}5$ cm. Koliko je visoka slika kad kameru pomerimo tako da bude $12$ m od drveta (u cm)?
Stranice jednog trougla su $11$ cm, $4$ cm i $10$ cm. Njemu sličan trougao ima dve stranice od $35$ cm i $14$ cm. Kolika je treća stranica sličnog trougla (u cm)?
U trouglovima $DEF$ i $XYZ$ je $EF = 3$ cm, $ED = 9$ cm, $YZ = 6$ cm i $\angle E = \angle Y$. Kolika mora biti stranica $YX$ da bi trouglovi bili slični po stavu SUS, tako da $EF$ odgovara $YZ$ (u cm)?
Trougao $DEF$ ima uglove $\angle D = 48^\circ$ i $\angle E = 62^\circ$, a trougao $XYZ$ ima $\angle X = 70^\circ$, dok je spoljašnji ugao kod temena $Y$ jednak $132^\circ$. Šta važi?
Koji skup podataka NE garantuje da su trouglovi $DEF$ i $XYZ$ slični?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 6. Primena sličnosti na pravougli trougao — koliko je visok stub ispod slemena krova?