Primena Talesove teoreme u konstrukcijama — kako traku od jednog metra podeliti na tri jednaka dela?

Prenos odnosa dužina sa jednog kraka ugla na drugi (Talesova teorema); podela duži na k jednakih delova lenjirom i šestarom; podela duži u datoj razmeri m : n; konstrukcija duži x za koju je a : x = m : n; konstrukcija četvrte proporcionale; figura datog obima i date razmere stranica (i kad se stranica ponavlja), uslov postojanja trougla; podela pomoću papira sa linijama.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/262

Video

Traku dugu jedan metar treba podeliti na tri jednaka dela. Jedan metar je sto centimetara, a sto kroz tri je trideset tri zapeta tri, tri, tri… i tako bez kraja — lenjirom to ne možemo tačno izmeriti. Kako da je podelimo tačno? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Konstrukcija umesto merenja: Kad deljenje dužine brojem delova ne daje konačan decimalni zapis ($100 : 3 = 33{,}333\ldots$ cm), deo ne možemo tačno izmeriti lenjirom. Konstrukcija lenjirom (bez merenja) i šestarom deli duž tačno, ma kolika bila. Sve konstrukcije ovog časa koriste istu ideju: na jedan krak ugla šestarom nanesemo odsečke u odnosu koji nam treba, poslednju tačku spojimo sa odgovarajućom tačkom drugog kraka i kroz ostale tačke povučemo paralele sa tom spojnicom. Po Talesovoj teoremi paralele odsecaju na drugom kraku odsečke u istom odnosu — jednaki odsečci na jednom kraku daju jednake odsečke na drugom.
Podela duži na k jednakih delova: Iz tačke $P$ povučemo pomoćnu polupravu pod nekim uglom (tako da ne leži na pravoj $PQ$) i na nju šestarom nanesemo $k$ jednakih odsečaka: $PT_1 = T_1T_2 = \ldots = T_{k-1}T_k$. Spojimo poslednju tačku $T_k$ sa $Q$, a kroz $T_1, \ldots, T_{k-1}$ povučemo prave paralelne sa $T_kQ$. Njihovi preseci sa $PQ$ dele duž na $k$ jednakih delova. Dužinu odsečaka na pomoćnoj polupravi biramo sami — ona ne utiče na rezultat.
Podela u razmeri m : n: Da bi tačka $R$ delila duž $PQ$ tako da je $PR : RQ = m : n$, na pomoćnu polupravu nanesemo $m + n$ jednakih odsečaka i spojimo poslednju tačku $T_{m+n}$ sa $Q$. Kroz tačku $T_m$ povučemo paralelu sa $T_{m+n}Q$; ona seče $PQ$ u tački $R$, i $PR : RQ = PT_m : T_mT_{m+n} = m : n$. Ako razmeru prvo skratimo, treba nam manje odsečaka.
Duž x za koju je a : x = m : n: Na jedan krak ugla sa temenom $V$ nanesemo $VK = a$, a na drugi jednake odsečke $VT_1 = T_1T_2 = \ldots$, sve do $m$-te i $n$-te tačke, $T_m$ i $T_n$. Kroz $T_n$ povučemo paralelu sa $T_mK$; ona seče prvi krak u tački $X$, i $VX = x$, jer je $VK : VX = VT_m : VT_n = m : n$.
Četvrta proporcionala: Za date duži $a$, $b$ i $c$ duž $x$ sa $a : b = c : x$ dobijamo ovako: na jedan krak ugla sa temenom $V$ nanesemo $VK = a$ i nastavimo $KM = c$ ($K$ je između $V$ i $M$), a na drugi krak $VL = b$. Kroz $M$ povučemo paralelu sa $KL$; ona seče drugi krak u tački $N$, i $LN = x$, jer je $VK : VL = KM : LN$. Ako se traži $x$ za koji je $a : b = x : c$, koristimo da je to isto što i $b : a = c : x$, pa zamenimo uloge duži $a$ i $b$.
Obim i razmera stranica: Kad je dat obim figure i razmera njenih stranica, obim kao duž delimo na onoliko jednakih delova koliko ih ima u svim stranicama zajedno. Kod trougla sa stranicama $3 : 4 : 6$ to je $13$ delova, ali kod pravougaonika sa stranicama $3 : 1$ svaka stranica se javlja dvaput, pa je to $3 + 1 + 3 + 1 = 8$ delova; kod jednakokrakog trougla krak se javlja dvaput. Trougao postoji samo ako su dve kraće stranice zajedno duže od najduže.
Papir sa linijama: Na istom principu radi i papir sa linijama: linije su paralelne i na jednakom razmaku. Traka postavljena koso preko njih, sa krajevima na prvoj i na šestoj liniji, biva podeljena na pet jednakih delova — između njenih krajeva je pet razmaka.

Formule

Podela duži u razmeri m : n

PR : RQ = PT_m : T_mT_{m+n} = m : n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$T_1, \ldots, T_{m+n}$	jednako udaljene tačke na pomoćnoj polupravi	—
$T_mR \parallel T_{m+n}Q$	paralela kroz $T_m$	—

Za $k$ jednakih delova: $k$ odsečaka i paralele kroz $T_1, \ldots, T_{k-1}$.

Duž u datoj razmeri

VK : VX = VT_m : VT_n = m : n

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$VK = a$	data duž	cm
$T_nX \parallel T_mK$	paralela kroz $T_n$	—

Tada je $a : x = m : n$, gde je $x = VX$.

Četvrta proporcionala (konstrukcija)

VK : VL = KM : LN, \qquad MN \parallel KL

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$VK = a, \ VL = b, \ KM = c$	nanete duži	cm
$LN = x$	tražena duž	cm

Tada je $a : b = c : x$; za $a : b = x : c$ koristimo $b : a = c : x$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Zašto traku od $1$ m ne možemo tačno podeliti na tri dela merenjem lenjirom?

2. Duž delimo na $6$ jednakih delova. Kroz koliko tačaka pomoćne poluprave (ne računajući $T_6$) povlačimo paralele sa $T_6Q$?

3. Duž $PQ$ treba podeliti tačkom $R$ tako da je $PR : RQ = 4 : 5$. Koliko jednakih odsečaka nanosimo na pomoćnu polupravu?

4. Tačka $R$ treba da deli duž $PQ$ tako da je $PR : RQ = 3 : 8$, a na pomoćnu polupravu nanesemo $11$ jednakih odsečaka. Kroz koju tačku povlačimo paralelu sa $T_{11}Q$?

5. Od čega zavisi da li će podela biti tačna?

6. Na koju teoremu se oslanja podela duži na jednake delove?

7. Duž od $14$ cm podeljena je konstrukcijom na $8$ jednakih delova. Koliko je dug svaki deo?

8. Traku postavimo koso preko papira sa linijama, tako da joj je jedan kraj na prvoj, a drugi na devetoj liniji. Na koliko jednakih delova linije dele traku?

9. Kod konstrukcije četvrte proporcionale ($VK = a$, $KM = c$, $VL = b$) kroz tačku $M$ povlačimo:

10. Može li postojati trougao obima $28$ cm čije su stranice u razmeri $3 : 4 : 7$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Lentu dugu $50$ cm treba konstrukcijom podeliti na $6$ jednakih delova. Opiši postupak i reci koliko je dug svaki deo.

pomoćna poluprava iz $P$

Lentu predstavimo duži $PQ$ i iz $P$ povučemo polupravu pod nekim uglom.
$PT_1 = T_1T_2 = \ldots = T_5T_6$

Šestarom nanesemo šest jednakih odsečaka proizvoljne dužine.
$T_6Q$, pa paralele kroz $T_1, \ldots, T_5$

Spojimo $T_6$ sa $Q$; paralele kroz ostale tačke dele lentu na šest jednakih delova.
$50 : 6 = 8\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}$

Svaki deo — dužina koju lenjirom ne bismo tačno izmerili.

Odgovor: šest delova od po $8\frac{1}{3}$ cm

Zadatak 2

Duž $PQ$ duga $10{,}5$ cm deli se tačkom $R$ u razmeri $PR : RQ = 4 : 3$. Koliko odsečaka nanosimo, kroz koju tačku povlačimo paralelu i koliki su delovi?

$4 + 3 = 7$

Na pomoćnu polupravu nanesemo $7$ jednakih odsečaka i spojimo $T_7$ sa $Q$.
$T_4R \parallel T_7Q$

Paralela kroz četvrtu tačku daje $PR : RQ = 4 : 3$.
$PR = \frac{4}{7} \cdot 10{,}5 = 6\ \mathrm{cm}, \quad RQ = 4{,}5\ \mathrm{cm}$

Provera računom.

Odgovor: $7$ odsečaka, kroz $T_4$; $6$ cm i $4{,}5$ cm

Zadatak 3

Date su duži $a = 8$ cm, $b = 5$ cm i $c = 6{,}4$ cm. Konstruiši duž $x$ za koju je $a : b = c : x$ i proveri računom njenu dužinu.

$VK = 8, \ KM = 6{,}4, \ VL = 5$

Na jedan krak $a$ pa $c$, na drugi $b$.
$MN \parallel KL, \quad x = LN$

Paralela kroz $M$ seče drugi krak u $N$.
$x = \frac{5 \cdot 6{,}4}{8} = 4\ \mathrm{cm}$

Provera: $8 : 5 = 6{,}4 : 4$.

Odgovor: $x = 4$ cm

Zadatak 4

Obim trougla je $30$ cm, a stranice su mu u razmeri $4 : 5 : 6$. Kako ga konstruišemo i kolike su stranice?

$4 + 5 + 6 = 15$

Duž od $30$ cm podelimo na $15$ jednakih delova (po $2$ cm).
$4 \cdot 2 = 8, \quad 5 \cdot 2 = 10, \quad 6 \cdot 2 = 12\ \mathrm{cm}$

Odvojimo duži od $4$, $5$ i $6$ jednakih delova.
trougao od tri stranice

Konstruišemo trougao čije su stranice $8$, $10$ i $12$ cm ($8 + 10 > 12$, pa postoji).

Odgovor: stranice $8$ cm, $10$ cm i $12$ cm

Zadatak 5

Obim jednakokrakog trougla je $42$ cm, a osnovica i krak su u razmeri $4 : 5$. Kolike su mu stranice?

$4 + 5 + 5 = 14$

Krak se u obimu javlja dvaput, pa obim delimo na $14$ jednakih delova.
$42 : 14 = 3, \quad a = 4 \cdot 3 = 12\ \mathrm{cm}, \quad b = 5 \cdot 3 = 15\ \mathrm{cm}$

Osnovica četiri dela, svaki krak pet delova.
$12 + 15 > 15$

Trougao postoji.

Odgovor: osnovica $12$ cm, krak $15$ cm

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Duž $PQ$ duga je $12$ cm. Na pomoćnu polupravu iz tačke $P$ nanesemo jednake odsečke $PT_1 = T_1T_2 = \ldots = T_{3}T_{4}$. Spojimo $T_{4}$ sa $Q$, a kroz $T_{1}$ povučemo paralelu sa $T_{4}Q$, koja seče $PQ$ u tački $R$. Koliko je $PR$ (u cm)?

Zadatak 2

Na jedan krak ugla sa temenom $V$ nanesena je duž $VK = 7{,}5$ cm, a na drugi jednaki odsečci $VT_1 = T_1T_2 = \ldots$. Kroz tačku $T_{4}$ povučena je paralela sa $T_{3}K$, koja seče prvi krak u tački $X$. Koliko je $VX$ (u cm)?

Zadatak 3

Obim jednakokrakog trougla je $22$ cm, a osnovica i krak su u razmeri $5 : 3$. Koliko je dug krak (u cm)?

Zadatak 4

Marko je traku delio na tri jednaka dela: naneo je tri jednaka odsečka, spojio $T_1$ sa $Q$ i kroz $T_2$ i $T_3$ povukao paralele sa $T_1Q$. Šta je pogrešio?

Zadatak 5

Treba konstruisati duž $x$ za koju je $a : b = x : c$. Kako to najlakše uradimo?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 4. Sličnost trouglova — kolike su stranice pravog jedra ako znamo stranice jedra na modelu?