Sličnost trouglova — kolike su stranice pravog jedra ako znamo stranice jedra na modelu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Isti oblik, druga veličina

Jedro na modelu i pravo jedro izgledaju isto, samo je jedno mnogo veće: uglovi su im isti, a dužine nisu. Za dva trougla kažemo da su slični ako njihove uglove možemo spariti tako da su u svakom paru jednaki; takve uglove zovemo odgovarajući uglovi. Trougao na uvećanoj fotografiji, na maketi ili na crtežu u razmeri sličan je pravom trouglu.

Koeficijent sličnosti

Stranice naspram odgovarajućih uglova zovemo odgovarajuće stranice. Kod sličnih trouglova one su proporcionalne: kad svaku stranicu drugog trougla podelimo odgovarajućom stranicom prvog, dobijemo uvek isti broj $k$ — koeficijent sličnosti. Ako je $k > 1$, drugi trougao je veći, ako je $k < 1$, manji, a za $k = 1$ trouglovi su podudarni (podudarni trouglovi su poseban slučaj sličnih). Kad poredimo u obrnutom smeru, koeficijent je $\frac{1}{k}$: stranice pravog jedra su $25$ puta duže od stranica modela, a stranice modela su $\frac{1}{25}$ stranica pravog jedra.

Obim sličnih trouglova

Neka su $a$, $b$ i $c$ stranice prvog trougla. Ako je svaka stranica drugog trougla $k$ puta odgovarajuća stranica prvog, i zbir stranica je $k$ puta veći: $O_2 = k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c = k \cdot O_1$. Odnos obima sličnih trouglova jednak je koeficijentu sličnosti. Kad znamo obime oba trougla, znamo $k$, pa iz jedne stranice dobijamo odgovarajuću stranicu drugog trougla.

Zapis sličnosti

Pišemo $\triangle DEF \sim \triangle XYZ$, i redosled temena je važan: $D$ odgovara $X$, $E$ odgovara $Y$, $F$ odgovara $Z$, pa je $\angle D = \angle X$, $\angle E = \angle Y$, $\angle F = \angle Z$. Odgovarajuće stranice čitamo sa istih mesta u zapisu: $DE$ i $XY$, $EF$ i $YZ$, $FD$ i $ZX$, pa je $k = \frac{XY}{DE} = \frac{YZ}{EF} = \frac{ZX}{FD}$. U zapisu $\triangle DEF \sim \triangle YZX$ parovi su drugačiji: $D$ i $Y$, $E$ i $Z$, $F$ i $X$.

Provera preko uglova

Pošto je zbir uglova trougla $180^\circ$, dovoljno je da se poklope dva para uglova — treći par je onda sigurno jednak. Trougao sa uglovima $40^\circ$ i $75^\circ$ ima treći ugao $65^\circ$, pa je sličan svakom trouglu koji ima uglove $65^\circ$ i $40^\circ$, bez obzira na veličinu i položaj. Kod pravouglih trouglova jedan par već imamo — prave uglove — pa su dva pravougla trougla slična čim imaju po jedan jednak oštar ugao.

Provera preko stranica

Kad znamo samo stranice, poređamo ih u oba trougla po veličini i podelimo najkraću sa najkraćom, srednju sa srednjom i najdužu sa najdužom: naspram većeg ugla je veća stranica, pa tako sparujemo stranice naspram jednakih uglova. Ako su sva tri količnika jednaka, trouglovi su slični (to je jedan od stavova sličnosti, koje upoznajemo u sledećem času); ako se makar jedan razlikuje, nisu. Deljenje stranica redom kako su napisane može da zavara.

Zašto su stranice proporcionalne

Neka je $\triangle DEF \sim \triangle XYZ$ i neka je $XYZ$ veći. Manji trougao postavimo u ugao $X$ većeg: teme $D$ na $X$, tačku $E$ na krak $XY$, tačku $F$ na krak $XZ$ (to može, jer je $\angle D = \angle X$). Uglovi kod $E$ i kod $Y$ su jednaki i saglasni na pravoj $XY$, pa je $EF \parallel YZ$. Po Talesovoj teoremi tada je $XE : XY = XF : XZ = EF : YZ$, tj. $DE : XY = FD : ZX = EF : YZ$ — odgovarajuće stranice su proporcionalne.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.