Proporcionalnost duži — na koliko jednakih komada stolar može da iseče dve letvice?

Razmera duži (količnik dužina u istoj jedinici); proporcionalne duži a : b = c : d i a · d = b · c; četvrta proporcionala; razmera plana i karte; zajednička mera dve duži; samerljive duži (razmera je racionalan broj) i nesamerljive duži (razmera je iracionalan broj).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/260

Video

Stolar ima dve letvice: jednu dugu metar i dvadeset centimetara, a drugu osamdeset centimetara. Želi da ih iseče na komade iste dužine, bez ostatka. Koliko najduže mogu da budu komadi? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Zajednička mera: Duž $e$ je zajednička mera duži $a$ i $b$ ako staje ceo broj puta i u $a$ i u $b$: $a = m \cdot e$ i $b = n \cdot e$, gde su $m$ i $n$ prirodni brojevi. Duži od $36$ cm i $60$ cm imaju više zajedničkih mera ($2$ cm, $3$ cm, $6$ cm …), a najveća je $12$ cm — najveći zajednički delilac brojeva $36$ i $60$ kad su obe dužine u centimetrima.
Razmera duži: Razmera duži $a$ i $b$ je količnik njihovih dužina izraženih istom jedinicom: $a : b = \frac{a}{b}$. Razmera je broj bez jedinice. Ako duži imaju zajedničku meru $e$, onda je $a : b = m \cdot e : n \cdot e = m : n$; duži od $36$ cm i $60$ cm su u razmeri $3 : 5$. Pre deljenja obavezno pretvorimo dužine u istu jedinicu: duži od $9$ mm i $3$ cm su u razmeri $9 : 30 = 3 : 10$, a ne $9 : 3$.
Samerljive i nesamerljive duži: Duži su samerljive ako im je razmera racionalan broj $\frac{m}{n}$ — tada imaju zajedničku meru. Ako je razmera iracionalan broj, duži su nesamerljive: nijedna duž, ma koliko mala, ne staje ceo broj puta u obe. Na primer, u pravougaoniku sa stranicama $1$ cm i $2$ cm dijagonala je $\sqrt{5}$ cm, pa su dijagonala i kraća stranica u razmeri $\sqrt{5}$ — nesamerljive su. Kod korena prvo delimično korenujemo: $\sqrt{28} : \sqrt{63} = 2\sqrt{7} : 3\sqrt{7} = 2 : 3$, pa su te duži samerljive. Poznati nesamerljivi parovi su dijagonala kvadrata i njegova stranica (razmera $\sqrt{2}$), kao i obim kruga i njegov prečnik (razmera $\pi$).
Proporcionalne duži: Duži $a$, $b$, $c$ i $d$ (tim redom) su proporcionalne ako je $a : b = c : d$. Tada je $a \cdot d = b \cdot c$: proizvod spoljašnjih članova jednak je proizvodu unutrašnjih. Obrnuto, ako važi $a \cdot d = b \cdot c$, duži su proporcionalne. Tako proveravamo proporcionalnost i kad dužine nisu celi brojevi.
Četvrta proporcionala: Kad su date tri duži $a$, $b$ i $c$, duž $x$ za koju je $a : b = c : x$ zove se četvrta (geometrijska) proporcionala. Iz $a \cdot x = b \cdot c$ dobijamo $x = \frac{b \cdot c}{a}$. Ako su $a$ i $b$ u jednoj, a $c$ u drugoj jedinici, $x$ je u istoj jedinici kao $c$, jer je razmera $a : b$ broj bez jedinice.
Razmera plana i karte: Plan ili karta nacrtani u razmeri $1 : n$ prikazuju stvarnost umanjenu $n$ puta: svaka duž u prirodi je $n$ puta duža od svoje slike, pa je dužina u prirodi $n$ puta dužina na planu. Razmeru plana dobijamo kad dužinu na planu podelimo odgovarajućom dužinom u prirodi, obe u istoj jedinici, i skratimo do oblika $1 : n$. Pazi: površine se ne menjaju $n$ puta, nego $n^2$ puta, jer se umanjuju i dužina i širina.

Formule

Razmera duži

a : b = \frac{a}{b}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	dužine duži u istoj jedinici	cm

Samerljive duži: $a : b = m : n$, $m, n \in \mathbb{N}$; zajednička mera je $e = \frac{a}{m} = \frac{b}{n}$.

Proporcionalne duži

a : b = c : d \iff a \cdot d = b \cdot c

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b, c, d$	dužine duži	cm

Četvrta proporcionala: $x = \frac{b \cdot c}{a}$ za $a : b = c : x$.

Razmera plana

d_{\text{priroda}} = n \cdot d_{\text{plan}}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$1 : n$	razmera plana ili karte	—
$d$	dužina	cm

Obe dužine u istoj jedinici; površine se menjaju $n^2$ puta.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kolika je razmera prve duži prema drugoj ako su duge $45$ mm i $6$ cm?

2. Ako su duži proporcionalne, $a : b = c : d$, šta sigurno važi?

3. Duži od $1{,}5$ m i $60$ cm imaju najveću zajedničku meru $30$ cm. Kolika je razmera prve prema drugoj?

4. Koje duži su samerljive?

5. Šta je razmera dve duži?

6. Kad su dve duži samerljive?

7. Odredi četvrtu proporcionalu: $3 : 7 = 9 : x$.

8. Kolika je najveća zajednička mera duži od $18$ cm i $30$ cm?

9. Na planu u razmeri $1 : 200$ koliko je duga ograda od $18$ m?

10. Ako je $a : b = 3 : 8$ i $b = 48$ cm, koliko je $a$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Letvice su duge $1{,}2$ m i $80$ cm. Koliko najduže mogu da budu jednaki komadi bez ostatka, koliko će ih biti i kolika je razmera letvica?

$1{,}2\ \mathrm{m} = 120\ \mathrm{cm}$

Obe dužine u istoj jedinici.
$\mathrm{NZD}(120, 80) = 40$

Najveća zajednička mera je $40$ cm.
$120 : 40 = 3, \quad 80 : 40 = 2$

Tri komada od duže i dva od kraće letvice — ukupno pet.
$120 : 80 = 3 : 2$

Razmera je racionalan broj, pa su letvice samerljive.

Odgovor: $40$ cm, $5$ komada, razmera $3 : 2$

Zadatak 2

Odredi duž $x$ tako da je $3{,}5\ \mathrm{cm} : 5\ \mathrm{cm} = 1{,}4\ \mathrm{dm} : x$.

$3{,}5 \cdot x = 5 \cdot 1{,}4\ \mathrm{dm} = 7\ \mathrm{dm}$

Proizvod spoljašnjih jednak je proizvodu unutrašnjih članova.
$x = \frac{7\ \mathrm{dm}}{3{,}5} = 2\ \mathrm{dm} = 20\ \mathrm{cm}$

Razmera $3{,}5 : 5$ je broj, pa je $x$ u decimetrima kao i $1{,}4$ dm.

Odgovor: $x = 20$ cm

Zadatak 3

Da li su duži $2{,}4$ cm, $3{,}6$ cm, $5$ cm i $7{,}5$ cm, tim redom, proporcionalne?

$2{,}4 \cdot 7{,}5 = 18$

Proizvod spoljašnjih članova.
$3{,}6 \cdot 5 = 18$

Proizvod unutrašnjih članova.
$2{,}4 : 3{,}6 = 5 : 7{,}5$

Proizvodi su jednaki, pa su duži proporcionalne (obe razmere su $2 : 3$).

Odgovor: jesu

Zadatak 4

Da li su samerljive duži $\sqrt{72}$ cm i $\sqrt{98}$ cm? A duži $3$ cm i $\sqrt{12}$ cm?

$\sqrt{72} : \sqrt{98} = 6\sqrt{2} : 7\sqrt{2} = 6 : 7$

Razmera je racionalan broj — samerljive su.
$3 : \sqrt{12} = 3 : 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Racionališemo: $\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — iracionalan broj, nisu samerljive.

Odgovor: prve jesu, druge nisu

Zadatak 5

Na planu stana soba duga $4{,}2$ m nacrtana je kao duž od $3$ cm. U kojoj razmeri je plan i koliko je na planu duga kuhinja od $2{,}8$ m?

$3\ \mathrm{cm} : 420\ \mathrm{cm} = 1 : 140$

Dužinu na planu podelimo dužinom u prirodi, u istoj jedinici.
$280\ \mathrm{cm} : 140 = 2\ \mathrm{cm}$

Na planu je svaka dužina $140$ puta kraća.

Odgovor: $1 : 140$; kuhinja $2$ cm

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Odredi duž $x$ tako da je $\sqrt{6}\ \mathrm{cm} : \sqrt{24}\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm} : x$ (u cm).

Zadatak 2

Koliko je od ovih parova duži samerljivo: $\sqrt{27}$ cm i $\sqrt{12}$ cm; $4$ cm i $\sqrt{63}$ cm; $\sqrt{2}$ cm i $\sqrt{6}$ cm; $5$ cm i $\sqrt{18}$ cm?

Zadatak 3

Dve duži su u razmeri $5 : 1$, a njihova najveća zajednička mera je $9$ cm. Koliki je zbir dužina tih duži (u cm)?

Zadatak 4

Duž od $\sqrt{2}$ cm i duž $x$ su samerljive. Koja od ovih dužina može da bude $x$?

Zadatak 5

Za duži važi $a : b = c : d$. Ako $a$ i $c$ udvostručimo, a $b$ i $d$ ostanu iste, šta važi?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 2. Talesova teorema — koliko je dug deo bulevara između dve paralelne ulice?