Skup celih brojeva i brojevna prava — na kom spratu je garaža ispod zgrade?

Negativni brojevi u svakodnevnom životu (spratovi ispod prizemlja, temperatura ispod nule, nadmorska visina), brojevna prava kao produžena brojevna poluprava, skup celih brojeva Z, pozitivni (Z⁺) i negativni (Z⁻) celi brojevi, nula, prethodnik i sledbenik, uzastopni celi brojevi, odnos skupova N, N₀ i Z i operacije sa njima.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/164

Video

U liftu nove zgrade dugmad su: 5, 4, 3, 2, 1, 0 — pa ispod nule −1, −2, −3 i −4, za garaže pod zemljom. Na koji sprat stiže Mila ako iz prizemlja siđe četiri sprata? Za to nam trebaju brojevi manji od nule. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Brojevi manji od nule: U liftu je prizemlje 0, spratovi iznad su 1, 2, 3…, a garaže ispod zemlje −1, −2, −3. Isto se meri temperatura (−4 °C je četiri stepena ispod nule) i nadmorska visina (dno jezera na −20 m je 20 m ispod nivoa mora). Brojevi −1, −2, −3… čitaju se „minus jedan“, „minus dva“… i zovu se negativni brojevi. Svi su manji od nule.
Brojevna prava: Brojevnu polupravu iz 5. razreda produžimo i levo od nule. Levo od nule, na istim razmacima (jedinična duž), nanosimo −1, −2, −3… Tako dobijamo brojevnu pravu: pozitivni brojevi su desno od nule, negativni levo, a nula je koordinatni početak $O$. Razmak između dva susedna podeoka je jedinična duž.
Skup celih brojeva: Prirodni brojevi, nula i negativni brojevi zajedno čine skup celih brojeva: $Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Pozitivni celi brojevi su prirodni brojevi, $Z^+ = N = \{1, 2, 3, \ldots\}$; negativni celi brojevi su $Z^- = \{-1, -2, -3, \ldots\}$. Nula nije ni pozitivna ni negativna.
Prethodnik i sledbenik: Svaki ceo broj ima sledbenika (broj za 1 veći) i prethodnika (broj za 1 manji). Na brojevnoj pravoj sledbenik je jedan korak udesno, a prethodnik jedan korak ulevo: sledbenik broja $-7$ je $-6$, a prethodnik je $-8$ — kao u liftu, gde je sprat iznad $-7$ sprat $-6$. Prethodnik broja 0 je $-1$. Za razliku od skupa $N_0$, u skupu $Z$ nijedan broj nije najmanji: svaki ima prethodnika. Brojevi koji idu redom, jedan za drugim (npr. $-2, -1, 0, 1$), zovu se uzastopni celi brojevi.
Znak plus: Pozitivan broj ponekad pišemo sa znakom plus: $+5 = 5$. Znak plus se obično izostavlja, a znak minus kod negativnog broja nikad: $-5$ i $5$ su različiti brojevi.
N, N₀ i Z: Svaki prirodan broj je i ceo broj, ali nije svaki ceo broj prirodan. Važi $N \subset N_0 \subset Z$: broj 7 pripada svim trima skupovima, 0 pripada $N_0$ i $Z$, a $-7$ samo skupu $Z$. Sa skupovima radimo kao u 5. razredu: $Z \setminus N_0 = Z^-$ (bez nule i prirodnih ostaju negativni), $Z^+ \cup \{0\} \cup Z^- = Z$.
Rastojanje na brojevnoj pravoj: Koliko je jediničnih duži između dve tačke na brojevnoj pravoj, vidimo brojanjem koraka: od −3 do 2 ima 5 koraka (3 do nule i još 2). Iz garaže na −3 do drugog sprata lift pređe 5 spratova.

Formule

Skup celih brojeva

Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}, \qquad N \subset N_0 \subset Z

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$Z^+$	pozitivni celi brojevi (= N)	—
$Z^-$	negativni celi brojevi	—

Nula nije ni pozitivna ni negativna.

Delovi skupa Z

Z = Z^- \cup \{0\} \cup Z^+, \qquad Z \setminus N_0 = Z^-

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$	ceo broj	—

Prethodnik broja $a$ je broj za 1 manji (korak ulevo), sledbenik je za 1 veći (korak udesno).

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kako se čita broj $-6$?

2. Koji je sledbenik broja $-4$?

3. Koji je prethodnik broja $0$ u skupu $Z$?

4. Gde se na brojevnoj pravoj nalaze negativni brojevi?

5. Kojim skupovima pripada broj $0$?

6. Šta je skup $Z^+$?

7. Da li je nula pozitivan broj?

8. Koji ceo broj je najmanji?

9. Kako se zapisuje temperatura od 8 stepeni ispod nule?

10. Koji ceo broj je na brojevnoj pravoj tačno između $-1$ i $1$?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Koji broj je na brojevnoj pravoj tri koraka levo od $1$, a koji pet koraka desno od $-8$?

$1 \to 0 \to -1 \to -2$

Tri koraka ulevo: svaki put prethodnik.
$-8 \to -7 \to -6 \to -5 \to -4 \to -3$

Pet koraka udesno: svaki put sledbenik.

Odgovor: $-2$ i $-3$.

Zadatak 2

Odredi skupove $Z \setminus N_0$ i $Z^+ \cup Z^- \cup \{0\}$.

Iz $Z$ izbacimo nulu i sve prirodne brojeve: ostaju $-1, -2, -3, \ldots$

$N_0$ čine nula i prirodni brojevi.
Pozitivni, negativni i nula zajedno su svi celi brojevi.

Nijedan ceo broj ne ostaje izvan.

Odgovor: $Z \setminus N_0 = Z^-$, a $Z^+ \cup Z^- \cup \{0\} = Z$.

Zadatak 3

Napiši redom sve cele brojeve od $-4$ do $2$. Koliko ih je, a koliko je među njima negativnih?

$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$

Uzastopni celi brojevi: svaki sledeći je sledbenik prethodnog.
Ukupno 7 brojeva; negativni su $-4, -3, -2, -1$.

Nula nije negativna.

Odgovor: 7 brojeva, od toga 4 negativna.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

U zgradi su prizemlje 0, spratovi 1, 2, 3… iznad i garaže −1, −2, −3… ispod zemlje. Luka je na spratu $-3$ i liftom ide 7 spratova naviše. Na kom spratu izlazi?

Zadatak 2

Koliko celih brojeva se nalazi između $-7$ i $9$ (sami brojevi $-7$ i $9$ se ne računaju)?

Zadatak 3

Ujutru je termometar pokazivao $-11\ ^\circ\mathrm{C}$, a u podne $0\ ^\circ\mathrm{C}$. Za koliko stepeni je otoplilo (koliko podeoka se popeo vrh stuba termometra)?

Zadatak 4

Koji skup je $Z \cap N_0$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Još časova: Razmera i aritmetička sredina — koliko je dugo dvorište sa plana u razmeri 1 : 400? · Procenti — koliko koštaju patike na sniženju od 30 %?