Simetrala duži i konstrukcija normale — gde je mesto jednako udaljeno od dve kuće?

Mesta jednako udaljena od dve tačke i simetrala duži (prava kroz središte normalna na duž, osa simetrije duži), konstrukcija simetrale šestarom i lenjirom (uslov za poluprečnik), deljenje duži na jednake delove, konstrukcija normale iz tačke van prave i u tački prave, tačka jednako udaljena od tri tačke.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/160

Video

Ana i Luka žive u dve kuće i dogovaraju se da se nađu na mestu koje je jednako udaljeno od obe kuće. Takvih mesta ima mnogo — i sva leže na jednoj pravoj! Koja je to prava i kako se crta samo šestarom i lenjirom? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Pravedna mesta za susret: Kuće označimo sa $K$ i $L$. Tačka na sredini duži $KL$ jednako je udaljena od obe kuće, ali nije jedina: i mesta „iznad“ i „ispod“ sredine, tačno na pravoj normalnoj na $KL$ kroz sredinu, takođe su jednako udaljena od $K$ i od $L$. Sva takva mesta čine jednu pravu.
Lukovi šestarom: Šestar otvorimo više od polovine duži $KL$ i opišemo luk oko $K$, pa istim otvorom luk oko $L$. Lukovi se seku u dve tačke, $X$ i $Y$: svaka je od $K$ i od $L$ udaljena koliko je otvor šestara. Ako je otvor jednak polovini duži ili manji, lukovi se samo dodiruju ili se uopšte ne seku, pa konstrukcija ne uspeva.
Simetrala duži: Prava $XY$ prolazi kroz sredinu $E$ duži $KL$ i normalna je na $KL$. Zovemo je simetrala duži $KL$. To je osa simetrije duži: preko nje se $K$ preslika u $L$. Svaka tačka simetrale jednako je udaljena od $K$ i $L$, a svaka tačka koja je jednako udaljena od $K$ i $L$ leži na simetrali.
Deljenje duži na jednake delove: Simetrala deli duž na dve jednake polovine. Ako nacrtamo i simetrale obe polovine, dobijamo 4 jednaka dela, a sledećim korakom 8. Tako traku od 12 cm možemo da podelimo na 8 delova od po $1{,}5$ cm bez lenjira sa podeocima.
Normala iz tačke van prave: Neka tačka $T$ nije na pravoj $p$. Oko $T$ opišemo luk koji seče $p$ u dve tačke, $C$ i $D$. Tačka $T$ je jednako udaljena od $C$ i $D$, pa leži na simetrali duži $CD$, a ta simetrala je normalna na $p$. Zato nacrtamo simetralu duži $CD$ — to je normala iz $T$ na $p$.
Normala u tački prave: Ako je tačka $T$ na pravoj $p$, oko nje opišemo luk koji seče $p$ u $C$ i $D$, tako da je $TC = TD$. Simetrala duži $CD$ prolazi kroz $T$ i normalna je na $p$.
Jednako daleko od tri mesta: U selu su tri česme koje nisu na jednoj pravoj, a treba naći mesto jednako udaljeno od sve tri. Nacrtamo simetralu duži između prve i druge česme i simetralu duži između druge i treće. Presek te dve simetrale jednako je udaljen od sve tri česme. Oko njega bi mogla da se opiše kružnica koja prolazi kroz sve tri česme.

Formule

Svojstvo simetrale

Z \in s \;\Leftrightarrow\; ZK = ZL

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$s$	simetrala duži $KL$	—
$Z$	bilo koja tačka	—

Simetrala prolazi kroz sredinu duži i normalna je na nju.

Otvor šestara

r > \tfrac{1}{2} \, KL

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$r$	otvor šestara (poluprečnik lukova)	cm

Ako je $r$ jednako polovini duži ili manje, lukovi se ne seku u dve tačke.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta je simetrala duži $KL$?

2. Tačka $Z$ je na simetrali duži $KL$ i $ZK = 5$ cm. Koliko je $ZL$?

3. Da li se simetrala duži od 6 cm može konstruisati sa otvorom šestara od tačno 3 cm?

4. Šta je presek simetrale i duži?

5. Tačka $P$ je jednako udaljena od $K$ i $L$. Gde je $P$?

6. Šta je simetrala duži za samu duž?

7. Kako nalazimo normalu iz tačke $T$ van prave $p$?

8. Koliko jednakih delova daju simetrala duži i simetrale njenih polovina?

9. Gde je mesto jednako udaljeno od tri česme (nisu na jednoj pravoj)?

10. Čime se konstruiše simetrala duži?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Kuće $K$ i $L$ udaljene su 300 m. Mesto $Z$ je na simetrali duži $KL$, 200 m od kuće $K$. Koliki je put $K \to Z \to L$?

$ZL = ZK = 200\ \mathrm{m}$

Tačka simetrale jednako je udaljena od krajeva duži.
$200 + 200 = 400$

Put od $K$ do $Z$ pa do $L$.

Odgovor: 400 m.

Zadatak 2

Traka duga 12 cm deli se simetralama na 8 jednakih delova. Koliko je simetrala potrebno i koliko je dug svaki deo?

$1 + 2 + 4 = 7$ simetrala

Prvo jedna (2 dela), pa dve (4 dela), pa četiri (8 delova).
$12 : 8 = 1{,}5$

Dužinu podelimo brojem delova.

Odgovor: 7 simetrala, delovi od 1,5 cm.

Zadatak 3

Tačka $T$ leži na pravoj $p$. Kako se kroz nju crta normala na $p$ samo šestarom i lenjirom?

Oko $T$ opišemo luk koji seče $p$ u $C$ i $D$; tada je $TC = TD$.

$T$ je sredina duži $CD$.
Konstruišemo simetralu duži $CD$ — ona prolazi kroz $T$ i normalna je na $p$.

Simetrala prolazi kroz sredinu duži.

Odgovor: Simetrala duži $CD$.

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Tačka $Z$ leži na simetrali duži $KL$, ali ne na samoj duži. Dužina duži $KL$ je $3{,}8$ cm, a obim trougla $KLZ$ je $18{,}4$ cm. Koliko je duga duž $ZK$ (u cm)?

Zadatak 2

Traka duga $12{,}8$ cm podeljena je tako što je nacrtana je njena simetrala, a zatim simetrale obe polovine. Koliko je dug svaki od dobijenih jednakih delova (u cm)?

Zadatak 3

Stolar treba šestarom da konstruiše simetralu daske duge $2{,}7$ cm. Koliko centimetara najmanje sme da bude otvor šestara, ako ga podešava samo na prirodan broj centimetara?

Zadatak 4

U bašti su tri drveta koja nisu na jednoj pravoj. Gde treba postaviti prskalicu da bude jednako udaljena od sva tri?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 47. Simetrala ugla — gde postaviti klupu jednako udaljenu od dve staze?