Najmanji zajednički sadržalac — kada će dva autobusa ponovo krenuti zajedno?
Zajednički sadržaoci dva ili više brojeva (ima ih beskonačno mnogo), najmanji zajednički sadržalac NZS(a, b), NZS preko prostih činilaca, NZS uz uspravnu crtu, ako a | b onda NZS(a, b) = b, za uzajamno proste brojeve NZS(a, b) = a · b, veza NZD(a, b) · NZS(a, b) = a · b, primene u zadacima sa ponavljanjem.
Video
Pojmovi
- Dva autobusa
- Linija 4 polazi posle 12, 24, 36, 48, 60, 72, … minuta, a linija 9 posle 18, 36, 54, 72, … minuta. To su sadržaoci brojeva 12 i 18. Brojevi koji su u oba niza — 36, 72, 108, … — su zajednički sadržaoci: tada autobusi kreću zajedno. Prvi put se to dešava posle 36 minuta, u 7 i 36.
- Prvi put zajedno
- Autobusi će zajedno krenuti i posle 72, i posle 108 minuta, i tako bez kraja — kad god prođe broj minuta deljiv i sa 12 i sa 18. Takav broj zovemo zajednički sadržalac. Poslednjeg zajedničkog polaska nema, pa ima smisla pitati samo za prvi: najmanji prirodan broj deljiv i sa $a$ i sa $b$ zove se najmanji zajednički sadržalac, $\mathrm{NZS}(a, b)$. Za autobuse $\mathrm{NZS}(12, 18) = 36$, a svi ostali zajednički sadržaoci su njegovi sadržaoci: 72, 108, 144, …
- NZS preko prostih činilaca
- NZS mora da „sadrži“ svaki od brojeva, pa mora da ima sve njihove proste činioce, i to svaki onoliko puta koliko se najviše javlja u nekom od brojeva. $12 = 2^2 \cdot 3$ i $18 = 2 \cdot 3^2$: dvojka najviše dva puta, trojka najviše dva puta, pa je $\mathrm{NZS}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Za tri broja: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, pa je $\mathrm{NZS}(4, 6, 14) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
- NZS uz uspravnu crtu
- Brojeve napišemo levo od crte. Desno upišemo prost broj koji deli bar jedan od njih; deljive brojeve podelimo, a ostale samo prepišemo. Ponavljamo dok levo ne ostanu same jedinice. NZS je proizvod brojeva desno od crte. Za 12 i 18: sa 2 dobijamo 6 i 9; sa 2: 3 i 9; sa 3: 1 i 3; sa 3: 1 i 1. Zato je $\mathrm{NZS} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.
- Posebni slučajevi
- Ako je jedan broj deljiv drugim, NZS je veći broj: $\mathrm{NZS}(7, 35) = 35$. Ako su brojevi uzajamno prosti, NZS je njihov proizvod: $\mathrm{NZS}(9, 20) = 180$.
- Veza NZD i NZS
- Za svaka dva prirodna broja važi $\mathrm{NZD}(a, b) \cdot \mathrm{NZS}(a, b) = a \cdot b$. Za autobuse: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$. Zato, ako znamo NZD, NZS dobijamo deljenjem: $\mathrm{NZS}(a, b) = (a \cdot b) : \mathrm{NZD}(a, b)$. Pazi: ova veza važi samo za dva broja. Za 2, 4 i 6 je $\mathrm{NZD} \cdot \mathrm{NZS} = 2 \cdot 12 = 24$, a proizvod je $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | prirodni brojevi | — |
Najmanji prirodan broj deljiv i sa a i sa b. Ako a | b, onda je NZS(a, b) = b.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a, b$ | dva prirodna broja | — |
Za uzajamno proste brojeve: NZS(a, b) = a · b.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je zajednički sadržalac brojeva a i b?
2. Koliko je NZS(4, 6)?
3. Koliko zajedničkih sadržalaca imaju dva prirodna broja?
4. Koliko je NZS(10, 30)?
5. Koliko je NZS(5, 9)?
6. Šta važi za svaka dva prirodna broja a i b?
7. Kada se završava traženje NZS uz uspravnu crtu?
8. Koji brojevi su sigurno deljivi sa NZS(a, b)?
9. Koji je najmanji prirodan broj koji je deljiv i sa 3 i sa 7?
10. Ako je NZD(a, b) = 1, čemu je jednak NZS(a, b)?
Rešeni zadaci
Odredi NZS(28, 42) pomoću prostih činilaca.
-
$28 = 2^2 \cdot 7,\quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$Rastavimo oba broja.
-
$\mathrm{NZS} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$Svaki prost činilac uzmemo onoliko puta koliko se najviše javlja.
Na prazniku svetla na jednoj jelki trepću na svake 4 sekunde, na drugoj na svakih 10, a na trećoj na svakih 15 sekundi. Upalile su se zajedno. Posle koliko sekundi će se opet upaliti zajedno?
-
$4 = 2^2,\quad 10 = 2 \cdot 5,\quad 15 = 3 \cdot 5$Rastavimo sve tri vrednosti.
-
$\mathrm{NZS}(4, 10, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$Najmanji broj deljiv sa sva tri.
NZD dva broja je 9, a njihov proizvod je 1 620. Koliki je njihov NZS?
-
$\mathrm{NZD} \cdot \mathrm{NZS} = a \cdot b$Veza NZD i NZS za dva broja.
-
$\mathrm{NZS} = 1\,620 : 9 = 180$Proizvod podelimo sa NZD.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Dva zupčanika se dodiruju; prvi ima 20 zubaca, a drugi 36 zubaca. Na po jednom zupcu svakog zupčanika je obojena tačka i sada se te tačke dodiruju. Posle koliko zubaca koji prođu kroz mesto dodira će se tačke prvi put ponovo dodirnuti?
Zna se da je NZD(96, 108) = 12. Koliko je NZS(96, 108)? (Možeš da iskoristiš vezu između NZD i NZS.)
Koliko je NZS(6, 8, 9)?
Koliko je NZS(14, 15)?
Koji od ovih brojeva je zajednički sadržalac brojeva 6 i 10, ali NIJE njihov NZS?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 21. Pojam razlomka — koliki deo pite je pojeo Luka?