Greške merenja — zašto merimo više puta?
Zašto nijedno merenje nije potpuno tačno, srednja vrednost ponovljenih merenja, apsolutna i relativna greška, grube greške i kako se pravilno zapisuje rezultat merenja.
Video
Pojmovi
- Nijedno merenje nije potpuno tačno
- Rezultat svakog merenja je manje ili više neizvestan. Uzroci su priroda veličine (sto nije svuda iste širine), tačnost instrumenta (štoperica meri tačnije od sata) i način merenja.
- Bolji način merenja
- Dužinu jednog koraka tačnije merimo ako izmerimo deset koraka zajedno, pa podelimo sa 10.
- Grube greške
- Greške iz nepažnje: skala očitana ukoso, pogrešno određen podeok, pogrešno zapisan broj. Izbegavamo ih pažljivim radom — one ne ulaze u grešku merenja.
- Ponavljanje merenja
- Da bi rezultat bio pouzdaniji, merenje ponavljamo više puta — u školi najmanje tri puta.
- Srednja vrednost ($x_{\text{sr}}$)
- Najpouzdaniji rezultat: zbir svih izmerenih vrednosti podeljen brojem merenja.
- Apsolutna greška ($\Delta x$)
- Procenjena neizvesnost rezultata, u istim jedinicama kao merena veličina. Kod ponovljenih direktnih merenja jednaka je najvećem odstupanju od srednje vrednosti (bez obzira na znak), ali ne može biti manja od tačnosti instrumenta.
- Zapis rezultata
- $x = (x_{\text{sr}} \pm \Delta x)$, čita se „plus-minus“: vrednost je najverovatnije $x_{\text{sr}}$, a ponovljeno merenje najverovatnije daje rezultat između $x_{\text{sr}} - \Delta x$ i $x_{\text{sr}} + \Delta x$.
- Direktno i indirektno merenje
- Direktno: vrednost čitamo odmah sa skale (širina stola trakom). Indirektno: merimo druge veličine i računamo traženu (širinu sobe trakom od 1 m iz više merenja, brzinu iz puta i vremena).
- Relativna greška ($\delta$)
- Količnik apsolutne greške i srednje vrednosti, često u procentima. Nema jedinicu. Manja relativna greška znači kvalitetnije merenje: nije isto pogrešiti 1 mm na dužini od 5 mm i na dužini od 100 mm.
- Zaokruživanje
- Apsolutnu grešku pišemo jednom cifrom različitom od nule i uvek zaokružujemo naviše (2,7 mm → 3 mm). Srednju vrednost zaokružujemo na isto mesto kao grešku, po pravilima zaokruživanja (1203,3 mm → 1203 mm).
- Značajne cifre
- Cifre koje ostanu u pravilno zapisanom rezultatu merenja.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $x_{\text{sr}}$ | srednja vrednost | kao x |
| $x_1$, $x_2$, $x_3$ | izmerene vrednosti | kao x |
Kod n merenja zbir delimo sa n.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\Delta x$ | apsolutna greška | kao x |
| $|x_i - x_{\text{sr}}|$ | odstupanje jednog merenja od srednje vrednosti, bez znaka | kao x |
Ako je najveće odstupanje manje od tačnosti instrumenta, za grešku uzimamo tačnost instrumenta.
Primer: $l = (1203 \pm 3)\ \text{mm}$. Greška — jedna cifra različita od nule, zaokružena naviše; srednja vrednost — zaokružena na isto mesto.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\delta$ | relativna greška (čita se „delta“) | % |
| $\Delta x$ | apsolutna greška | kao x |
| $x_{\text{sr}}$ | srednja vrednost | kao x |
Jedinice se skrate, pa relativna greška nema jedinicu. Kvalitetnije je merenje sa manjom relativnom greškom.
Pitanja
Pitanje 1 od 11
1. Može li merenje biti potpuno tačno?
2. Koliko puta u školi najmanje ponavljamo merenje?
3. Merenja su dala 4 cm, 5 cm i 6 cm. Kolika je srednja vrednost?
4. Šta je apsolutna greška kod ponovljenih merenja?
5. Može li apsolutna greška biti manja od tačnosti instrumenta?
6. Šta znači zapis l = (25 ± 1) cm?
7. Najveće odstupanje je 2,3 mm. Kolika je zapisana apsolutna greška?
8. Koje merenje je kvalitetnije: greška 1 mm na dužini 5 mm ili greška 1 mm na dužini 100 mm?
9. Koju jedinicu ima relativna greška?
10. Šta je gruba greška?
11. Kako tačnije izmeriti dužinu jednog koraka?
Rešeni zadaci
Marko tri puta meri dužinu stola: 1201 mm, 1203 mm i 1206 mm. Izračunaj srednju vrednost i apsolutnu grešku i zapiši rezultat.
-
$l_{\text{sr}} = \frac{1201 + 1203 + 1206}{3}\ \text{mm} = \frac{3610}{3}\ \text{mm} \approx 1203{,}3\ \text{mm}$Srednja vrednost.
-
odstupanja: $2{,}3\ \text{mm}$, $0{,}3\ \text{mm}$ i $2{,}7\ \text{mm}$Od svakog merenja oduzmemo srednju vrednost i ne gledamo znak.
-
$\Delta l = 2{,}7\ \text{mm} \rightarrow 3\ \text{mm}$Najveće odstupanje, zaokruženo naviše na jednu cifru.
-
$l_{\text{sr}} = 1203{,}3\ \text{mm} \rightarrow 1203\ \text{mm}$Srednju vrednost zaokružimo na jedinice, kao grešku.
-
$l = (1203 \pm 3)\ \text{mm}$Pravilan zapis rezultata.
Dužina stola izmerena je sa greškom 3 mm na 1203 mm, a dužina olovke sa greškom 1 mm na 150 mm. Koje merenje je kvalitetnije?
-
$\delta_1 = \frac{3\ \text{mm}}{1203\ \text{mm}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}25\,\%$Relativna greška merenja stola.
-
$\delta_2 = \frac{1\ \text{mm}}{150\ \text{mm}} \cdot 100\,\% \approx 0{,}67\,\%$Relativna greška merenja olovke.
-
$0{,}25\,\% < 0{,}67\,\%$Manja relativna greška znači kvalitetnije merenje.
Jana tri puta meri širinu sveske lenjirom tačnosti 1 mm i svaki put dobije 210 mm. Kolika je apsolutna greška?
-
$x_{\text{sr}} = 210\ \text{mm}$Sva tri merenja su ista.
-
najveće odstupanje: 0 mmNijedno merenje ne odstupa od srednje vrednosti.
-
$\Delta x = 1\ \text{mm}$Greška ne može biti manja od tačnosti lenjira.
Iz merenja vremena dobijeno je $t_{\text{sr}} = 7{,}846$ s i najveće odstupanje 0,042 s. Zapiši pravilno rezultat.
-
$\Delta t = 0{,}042\ \text{s} \rightarrow 0{,}05\ \text{s}$Jedna cifra različita od nule, zaokruženo naviše.
-
$t_{\text{sr}} = 7{,}846\ \text{s} \rightarrow 7{,}85\ \text{s}$Na stotine, kao greška; posle 4 dolazi 6, pa se 4 povećava.
-
$t = (7{,}85 \pm 0{,}05)\ \text{s}$Pravilan zapis.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Jana je tri dana merila koliko joj treba do škole: 17 min, 24 min i 34 min. Koliko joj prosečno treba?
Srednja vrednost merenja je 100 cm, a apsolutna greška 1 cm. Kolika je relativna greška u procentima?
Marko je izmerio da je deset njegovih koraka dugo 6,8 m. Kolika je dužina jednog koraka u centimetrima?
Merenja su dala 31 mm, 33 mm i 35 mm, a srednja vrednost je 33 mm. Kolika je apsolutna greška (lenjir meri na 1 mm)?
Srednja vrednost je 45,62 cm, a najveće odstupanje 0,37 cm. Kako se pravilno zapisuje rezultat?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 11. Kretanje — da li putnik u autobusu miruje?