Oscilacije na opruzi — od čega zavisi koliko brzo telo titra?
Telo vezano za oprugu kao mehanički oscilator: elastična sila F = k·x vraća telo u ravnotežni položaj, krutost opruge k, period oscilovanja T = 2π√(m/k) (zavisi od mase i krutosti, ne od amplitude) i istegnutost vertikalne opruge Δl = mg/k.
Video
Pojmovi
- Telo na opruzi je oscilator
- Telo vezano za oprugu je mehanički oscilator. Zamisli telo koje klizi bez trenja po stolu i oprugom je vezano za zid. Dok telo miruje, opruga nije ni sabijena ni istegnuta — to je ravnotežni položaj.
- Elastična sila vraća telo
- Kad telo pomeriš iz ravnotežnog položaja, opruga ga elastičnom silom vuče nazad. Ta sila je srazmerna elongaciji (pomeraju iz ravnotežnog položaja): $F = k \cdot x$. Zato telo titra oko ravnotežnog položaja.
- Krutost opruge
- Koeficijent $k$ zove se krutost opruge. Pokazuje koliko je opruga „tvrda“ — veća $k$ znači tvrđu oprugu. Jedinica je njutn po metru: $k = \dfrac{F}{x}$, $[k] = \mathrm{N/m}$.
- Kako teče oscilovanje
- U amplitudnom položaju telo na trenutak stane (brzina je nula), a elastična sila je najveća. U ravnotežnom položaju sila je nula, a brzina najveća. Tako se brzina i sila stalno smenjuju.
- Period oscilovanja
- Vreme jedne pune oscilacije je period $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Veća masa znači sporije titranje (veći period), a tvrđa opruga (veće $k$) znači brže titranje.
- Period ne zavisi od amplitude
- Koliko god jako gurneš telo, period ostaje isti — zavisi samo od mase tela i krutosti opruge, a ne od amplitude. (Slično kao kod klatna, čiji period zavisi samo od dužine.)
- Vertikalna opruga
- Kad telo visi o vertikalnoj opruzi, period titranja je isti kao kod horizontalne. Samo, ovde opruga u ravnoteži nije opuštena — već je istegnuta, jer elastična sila mora da uravnoteži silu teže: $mg = k \cdot \Delta l$, pa je istegnutost $\Delta l = \dfrac{mg}{k}$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $F$ | elastična sila | N |
| $k$ | krutost opruge | N/m |
| $x$ | elongacija (pomeraj iz ravnotežnog položaja) | m |
Krutost iz sile i pomeraja: $k = \dfrac{F}{x}$.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $T$ | period | s |
| $m$ | masa tela | kg |
| $k$ | krutost opruge | N/m |
Veća masa → veći period (sporije); veće k → manji period (brže). Ne zavisi od amplitude. Uzmi π ≈ 3,14.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $\Delta l$ | istegnutost u ravnotežnom položaju | m |
| $m$ | masa tela | kg |
| $g$ | ubrzanje Zemljine teže ≈ 10 | m/s² |
| $k$ | krutost opruge | N/m |
U ravnotežnom položaju elastična sila uravnotežuje silu teže.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Šta je telo vezano za oprugu?
2. Koja sila vraća telo u ravnotežni položaj?
3. Čemu je srazmerna elastična sila opruge?
4. Formula za elastičnu silu je:
5. Šta je krutost opruge k?
6. Gde je brzina tela najveća?
7. Gde je elastična sila najveća?
8. Od čega zavisi period oscilovanja na opruzi?
9. Ako okačiš teži teg, titranje je:
10. Da li period zavisi od toga koliko jako gurneš telo (amplitude)?
Rešeni zadaci
Opruga se pod silom 30 N istegne za 0,15 m. Kolika je krutost opruge?
-
$k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{30\ \mathrm{N}}{0{,}15\ \mathrm{m}} = 200\ \mathrm{N/m}$Silu podelimo elongacijom.
Telo mase 2 kg visi o opruzi krutosti 50 N/m. Koliko je opruga istegnuta? (g = 10 m/s²)
-
$\Delta l = \dfrac{mg}{k} = \dfrac{2\ \mathrm{kg} \cdot 10\ \mathrm{m/s^2}}{50\ \mathrm{N/m}} = 0{,}4\ \mathrm{m}$Silu teže podelimo krutošću.
Telo mase 0,5 kg osciluje na opruzi krutosti 50 N/m. Koliki je period? (π ≈ 3,14)
-
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}5}{50}} = 6{,}28 \cdot 0{,}1 = 0{,}628\ \mathrm{s}$Uvrstimo m i k i izračunamo koren.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Opruga se pod silom 70 N istegne za 0,2 m. Kolika je krutost opruge?
Opruga krutosti 320 N/m istegnuta je za 0,4 m. Kolika elastična sila deluje?
Telo mase 6 kg visi o opruzi krutosti 300 N/m. Koliko se opruga istegne? (g = 10 m/s²)
Dva ista tega okačiš na istu oprugu jedan za drugim (veća masa). Kako se menja period?
Isto telo gurneš prvo malo, pa jako (veća amplituda). Kako se menja period?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 3. Energija pri oscilovanju — kuda nestane brzina na vrhu zamaha?