Oscilatorno kretanje — zašto se ljuljaška ljulja u ritmu?

Period, frekvencija, amplituda i matematičko klatno: od ljuljaške u parku do dedinog sata sa klatnom.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/2

Video

Jana se ljulja na ljuljašci, a Marko broji: napred–nazad, napred–nazad. Za 25 sekundi Jana napravi 10 punih ljuljanja. Koliko traje jedno ljuljanje, zašto se ljuljaška polako smiruje i zašto bi dedin sat sa klatnom na Mesecu kasnio? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Periodično kretanje: Kretanje koje se posle određenog vremena ponavlja na isti (ili skoro isti) način. Primeri: kazaljke na satu, Zemlja oko Sunca, ljuljaška.
Oscilatorno kretanje (oscilovanje): Periodično kretanje po istoj putanji, pri kome telo naizmenično prolazi kroz ravnotežni položaj, čas u jednom, čas u suprotnom smeru. Primeri: klatno, ljuljaška, teg na opruzi.
Mehanički oscilator: Telo koje osciluje — na primer kuglica klatna ili teg na opruzi.
Ravnotežni položaj: Položaj u kome bi telo mirovalo kada ga niko ne bi pomerio. Kod klatna je to najniža tačka putanje (tačka O).
Jedna puna oscilacija: Kretanje od jednog krajnjeg položaja do drugog i nazad: A → O → B → O → A.
Period ($T$): Vreme trajanja jedne pune oscilacije. Meri se u sekundama (s).
Frekvencija ($\nu$, čita se „ni“): Broj punih oscilacija za jednu sekundu. Meri se u hercima (Hz): telo osciluje frekvencijom 1 Hz ako za jednu sekundu napravi jednu punu oscilaciju.
Elongacija ($x$): Rastojanje tela od ravnotežnog položaja u nekom trenutku. Meri se u metrima (m).
Amplituda ($x_0$): Najveća elongacija, odnosno najveće rastojanje od ravnotežnog položaja. Krajnje tačke A i B su amplitudni položaji.
Prigušene i neprigušene oscilacije: Zbog trenja i otpora vazduha amplituda se postepeno smanjuje, pa su oscilacije prigušene. Ako se gubici nadoknađuju (na primer, ljuljašku guramo u pravom trenutku), amplituda ostaje ista i oscilacije su neprigušene.
Matematičko klatno: Kuglica okačena o neistegljivu nit zanemarljive mase, kada je kuglica mnogo manja od dužine niti (na primer kuglica od 2 cm na niti dugoj 1,5 m). Formula za period važi samo za male oscilacije — kada nit sa vertikalom zaklapa ugao od svega dva–tri stepena.

Formule

Period

T = \frac{t}{N}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
T	period	s
t	ukupno vreme oscilovanja	s
N	broj punih oscilacija	—

Period je tačnije izmeriti preko više oscilacija: izmeri vreme za 10 oscilacija pa podeli sa 10.

Frekvencija

\nu = \frac{N}{t}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\nu$	frekvencija	Hz
N	broj punih oscilacija	—
t	vreme	s

$1\ \text{Hz} = \frac{1}{\text{s}} = \text{s}^{-1}$. Veće jedinice: $1\ \text{kHz} = 1000\ \text{Hz}$, $1\ \text{MHz} = 1\,000\,000\ \text{Hz}$.

Veza frekvencije i perioda

\nu = \frac{1}{T}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\nu$	frekvencija	Hz
T	period	s

I obrnuto: $T = \frac{1}{\nu}$. Što je period kraći, frekvencija je veća.

Period matematičkog klatna

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
T	period	s
l	dužina klatna (od tačke vešanja do centra kuglice)	m
g	gravitaciono ubrzanje	m/s²
π	broj pi ≈ 3,14	—

Važi za male oscilacije (ugao do dva–tri stepena). Period ne zavisi od mase kuglice; raste kad klatno produžimo ili kad je $g$ manje (na planini, na Mesecu). Ako klatno produžimo 4 puta, period se poveća 2 puta. Na Zemlji je $g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Pitanja

Pitanje 1 od 11

1. Šta je period oscilovanja?

2. Merna jedinica za frekvenciju je:

3. Amplituda je:

4. Klatno napravi 30 punih oscilacija za 60 s. Koliki je period?

5. Period je 0,5 s. Kolika je frekvencija?

6. Kuglica klatna krene iz tačke A, prođe kroz O i stigne do B. Koliko oscilacija je napravila?

7. Od čega zavisi period matematičkog klatna (za male amplitude)?

8. Ako klatno skratimo 4 puta, njegov period se:

9. Zašto se ljuljaška koju niko ne gura posle nekog vremena zaustavi?

10. Za koje vreme kuglica klatna stigne iz amplitudnog položaja u ravnotežni?

11. U kom položaju je brzina kuglice klatna najveća?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Jana se na ljuljašci zaljulja 12 puta (12 punih oscilacija) za 30 sekundi. Koliki je period, a kolika frekvencija ljuljanja?

$N = 12$, $t = 30\ \text{s}$

Zapišemo šta znamo: broj punih oscilacija i ukupno vreme.
$T = \frac{t}{N}$

Period je vreme jedne oscilacije: ukupno vreme podelimo brojem oscilacija.
$T = \frac{30\ \text{s}}{12} = 2{,}5\ \text{s}$

Jedno ljuljanje traje dve i po sekunde.
$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2{,}5\ \text{s}} = 0{,}4\ \text{Hz}$

Frekvenciju dobijamo iz perioda. Isto bismo dobili i kao $\nu = \frac{N}{t} = \frac{12}{30\ \text{s}}$.

Odgovor: Period je 2,5 s, a frekvencija 0,4 Hz.

Zadatak 2

Metronom otkucava frekvencijom 2 Hz. Koliki je period i koliko punih oscilacija napravi za jedan minut?

$\nu = 2\ \text{Hz}$, $t = 1\ \text{min} = 60\ \text{s}$

Zapišemo poznate veličine i vreme pretvorimo u sekunde.
$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{2\ \text{Hz}} = 0{,}5\ \text{s}$

Period je recipročna vrednost frekvencije.
$\nu = \frac{N}{t} \;\Rightarrow\; N = \nu \cdot t$

Iz formule za frekvenciju izrazimo broj oscilacija: obe strane pomnožimo sa $t$.
$N = 2\ \text{Hz} \cdot 60\ \text{s} = 120$

Herc je isto što i 1/s, pa se sekunde skrate i ostaje broj.

Odgovor: Period je 0,5 s, a za jedan minut metronom napravi 120 oscilacija.

Zadatak 3

Koliki je period matematičkog klatna dužine 2,45 m? Uzmi $g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ i $\pi \approx 3{,}14$.

$l = 2{,}45\ \text{m}$, $g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Zapišemo poznate veličine.
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Formula za period matematičkog klatna.
$\frac{l}{g} = \frac{2{,}45\ \text{m}}{9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \approx 0{,}25\ \text{s}^2$

Prvo izračunamo ono što je pod korenom. Metri se skrate, ostaju sekunde na kvadrat.
$\sqrt{0{,}25\ \text{s}^2} = 0{,}5\ \text{s}$

Koren iz 0,25 je 0,5, jer je $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.
$T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}5\ \text{s} \approx 3{,}14\ \text{s}$

Pomnožimo.

Odgovor: Period klatna je približno 3,14 s.

Zadatak 4

Koliko dugačko treba da bude klatno da bi njegov period bio 2 s? Uzmi $g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ i $\pi \approx 3{,}14$.

$T = 2\ \text{s}$, $l = ?$

Sada tražimo dužinu klatna.
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{l}{g}$

Obe strane formule podignemo na kvadrat, da se oslobodimo korena.
$l = \frac{g \cdot T^2}{4\pi^2}$

Izrazimo $l$: pomnožimo sa $g$ i podelimo sa $4\pi^2$.
$l = \frac{9{,}81 \cdot 2^2}{4 \cdot 3{,}14^2} = \frac{39{,}24}{39{,}44} \approx 0{,}99\ \text{m}$

Uvrstimo brojeve i podelimo.

Odgovor: Klatno treba da bude dugačko oko 1 m. Ono pređe iz jednog krajnjeg položaja u drugi za tačno 1 s, pa su ga koristili stari zidni satovi.

Test

Reši zadatke u svesci, pa upiši rezultat. Decimalni broj piši sa zarezom (npr. 2,5).

Zadatak 1

Teg na opruzi napravi 60 punih oscilacija za 24 s. Koliki je period oscilovanja?

Zadatak 2

Krila insekta zamahnu 500 puta u jednoj sekundi. Koliki je period jednog zamaha (u sekundama)?

Zadatak 3

Klatno je dugačko 44 cm. Koliki je njegov period? Uzmi $g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ i $\pi \approx 3{,}14$, a rezultat zaokruži na dve decimale.

Zadatak 4

Klatno zidnog sata ima period 2 s. Koliko punih oscilacija napravi za 4 minuta?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 4 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Još časova: Hidrostatički pritisak — zašto bole uši kad zaroniš? · Pritisak — zašto skije ne propadaju u sneg?

Još časova — Nikola Stanković

Fizika 6. razred · 29. čas

Oscilatorno kretanje — zašto se ljuljaška ljulja u ritmu?

🎬 Video

📖 Pojmovi

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test