Neke primene površine i zapremine prizme — kolika je masa šipke, koliko staje u saće?

Primene površine i zapremine prizme u životu: masa tela iz zapremine i gustine ($m = \rho \cdot V$, gustina kao masa jednog kubnog decimetra ili centimetra); složena tela od više prizmi (zapremina je zbir zapremina delova, površina nije zbir površina); materijal i sadržaj iste posude (površina za lim, zapremina za ono što staje); pretvaranje jedinica ($\mathrm{mm^3}$, $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$, ml, l); zaokruživanje prema smislu (broj celih komada naniže, potrebna količina naviše); procena rezultata.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/297

Video

Čelična šipka ima oblik pravilne četvorostrane prizme: osnova je kvadrat stranice $2$ cm, a šipka je duga $1$ m. Kolika je njena masa? Da bismo odgovorili, treba nam zapremina — i podatak kolika je masa jednog kubnog decimetra čelika. Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Masa iz zapremine: Telo od istog materijala je utoliko teže koliko je veće. Masa jednog kubnog centimetra (ili decimetra) materijala zove se gustina $\rho$ (čita se „ro“). Masa tela je zapremina puta gustina: $m = \rho \cdot V$. Na primer, ako jedan kubni decimetar nekog drveta ima masu $0{,}6$ kg, greda zapremine $25\ \mathrm{dm^3}$ ima masu $25 \cdot 0{,}6 = 15$ kg. Jedinice moraju da se slažu: zapremina u $\mathrm{dm^3}$ ide uz masu jednog $\mathrm{dm^3}$.
Složena tela: Mnogi predmeti se mogu razložiti na nekoliko prizmi (klupa, stepenište, slovo L od betona). Zapremina celog tela je zbir zapremina delova. Površina, međutim, nije zbir površina delova: strane kojima su delovi spojeni ostaju unutra i ne broje se, pa od zbira treba oduzeti po dva puta svaku površinu spoja.
Materijal i sadržaj: Kod posuda i kutija dve veličine se računaju odvojeno: koliko materijala treba za izradu (površina strana koje postoje — npr. bez poklopca) i koliko staje unutra (zapremina). Ista posuda može imati malu površinu, a veliku zapreminu, ili obrnuto. Pre računa proveri da li se pita površina ili zapremina i u kojoj jedinici.
Jedinice i pretvaranje: Za zapreminu je korak između susednih jedinica $1000$: $1\ \mathrm{cm^3} = 1000\ \mathrm{mm^3}$, $1\ \mathrm{dm^3} = 1000\ \mathrm{cm^3}$, $1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{dm^3}$. Za tečnosti: $1\ \mathrm{l} = 1\ \mathrm{dm^3}$ i $1\ \mathrm{ml} = 1\ \mathrm{cm^3}$. Kad su mere u različitim jedinicama, prvo ih svedemo na istu.
Zaokruživanje prema smislu: Rezultat računa treba protumačiti: broj celih komada koji se mogu napraviti zaokružujemo naniže (ne može se napraviti pola pločice), a broj kanti, kesa ili tura koje treba kupiti ili obaviti — naviše (inače neće biti dovoljno). Dobro je i proceniti rezultat napamet, da se uhvati greška u jedinici (npr. šipka teška $3000$ kg).

Formule

Masa

m = \rho \cdot V

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\rho$	gustina (masa jedinice zapremine)	kg/dm³
$V$	zapremina	dm³
$m$	masa	kg

Jedinice zapremine u $\rho$ i u $V$ moraju biti iste.

Složeno telo

V = V_1 + V_2 + \dots

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$V_1$, $V_2$	zapremine delova	cm³

Površina složenog tela je manja od zbira površina delova.

Jedinice

1\ \mathrm{l} = 1\ \mathrm{dm^3}, \qquad 1\ \mathrm{ml} = 1\ \mathrm{cm^3}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\mathrm{l}$	litar	—

$1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{l}$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta označava $\rho$ u formuli $m = \rho \cdot V$?

2. Koliko kubnih milimetara ima $1$ cm³?

3. Koliko litara ima $1$ m³?

4. Koja strana kutije bez poklopca se ne računa u potreban karton?

5. Po zapremini se može napraviti $14{,}7$ sveća. Koliko celih sveća će biti?

6. Za posao treba $6{,}2$ kese maltera. Koliko kesa treba kupiti?

7. Šta računamo da bismo znali koliko lima treba za kantu?

8. Dva predmeta istog oblika i veličine napravljena su od različitih metala. Šta je kod njih isto?

9. Od iste količine plastelina prave se kocka i dugačak tanak kvadar. Koje telo ima manju površinu?

10. Kocka od plastelina premesi se u kvadar. Šta se sigurno ne menja?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Betonska klupa u parku ima oblik mosta: ploča za sedenje je kvadar $160$ cm × $40$ cm × $10$ cm, a ispod njenih krajeva su dva oslonca, svaki kvadar $40$ cm × $40$ cm × $35$ cm. Kolika je masa klupe ako jedan kubni decimetar betona ima masu $2{,}4$ kg?

$V_1 = 160 \cdot 40 \cdot 10 = 64\,000$

Ploča, u cm³.
$V_2 = 2 \cdot 40 \cdot 40 \cdot 35 = 112\,000$

Dva oslonca, u cm³.
$V = 176\,000\ \mathrm{cm^3} = 176\ \mathrm{dm^3}$

Zapremina složenog tela je zbir zapremina delova; kubni decimetar ima hiljadu kubnih centimetara.
$m = 2{,}4 \cdot 176 = 422{,}4$

Masa u kg: gustina je data za kubni decimetar, pa i zapreminu uzimamo u dm³.

Odgovor: oko $422$ kg

Zadatak 2

Kontejner za smeće oblika kvadra bez poklopca ima dno $2$ m × $1{,}5$ m i visinu $1{,}2$ m. Koliko kvadratnih metara lima je potrebno za njegovu izradu, a koliko kubnih metara smeća u njega staje?

$2 \cdot 1{,}5 + 2 \cdot 2 \cdot 1{,}2 + 2 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}2 = 3 + 4{,}8 + 3{,}6$

Lim: dno i četiri zida, bez poklopca.
$P = 11{,}4$

Površina lima u m².
$V = 2 \cdot 1{,}5 \cdot 1{,}2 = 3{,}6$

Zapremina u m³ — to je pitanje šta staje unutra.

Odgovor: $11{,}4$ m² lima; staje $3{,}6$ m³ smeća

Zadatak 3

Ćelija pčelinjeg saća ima oblik pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $3$ mm i dubinom $11$ mm. Koliko približno ćelija napuni jedan litar meda? Uzmi $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

$V = \frac{3 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 11 = 148{,}5\sqrt{3} \approx 256{,}9$

Zapremina jedne ćelije u mm³: $B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, $H = 11$ mm.
$1\ \mathrm{l} = 1\,000\,000\ \mathrm{mm^3}$

Litar je kubni decimetar, a kubni decimetar ima milion kubnih milimetara.
$1\,000\,000 : 256{,}9 \approx 3893$

Toliko ćelija; to je samo procena, jer zidovi saća i zaobljenja nisu uračunati.

Odgovor: oko $3900$ ćelija

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Ravan krov garaže ima oblik pravougaonika $7$ m × $4$ m. Za vreme kiše na krov je palo $22$ mm vode (toliko bi bio visok sloj vode da se nije slila). Sva voda se slije u bure. Koliko litara vode se skupilo? (Jedan kubni decimetar je jedan litar.)

Zadatak 2

Poslastičar ima $1250$ ml otopljene čokolade i izliva je u kalupe za pločice oblika kvadra, $120$ mm × $45$ mm × $9$ mm. Koliko celih pločica može da napravi? (Jedan mililitar je jedan kubni centimetar.)

Zadatak 3

Dve jednake kocke ivice $a$ zalepljene su jednom celom stranom u kvadar. Šta je tačno za taj kvadar?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Još časova: Zapremina prave trostrane i pravilne šestostrane prizme — pola kvadra, šest trostranih prizmi · Zapremina prizme i prave četvorostrane prizme — koliko kockica staje u kutiju?