Zapremina prave trostrane i pravilne šestostrane prizme — pola kvadra, šest trostranih prizmi
Zapremina prave trostrane prizme $V = B \cdot H$ (kvadar presečen ravni kroz dijagonalu osnove daje dve podudarne trostrane prizme; svaki trougao se visinom deli na dva pravougla); prava trostrana prizma sa osnovom pravouglim, jednakokrakim ili opštim trouglom; pravilna trostrana prizma $V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} H$; pravilna šestostrana prizma kao šest pravilnih trostranih: $V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} H$; rezultat sa $\sqrt{3}$ i približna vrednost; obrnuti zadaci; kako se zapremina menja kad se promeni ivica ili visina.
Video
Pojmovi
- Trostrana prizma kao pola kvadra
- Kvadar sa osnovom $a \times b$ i visinom $H$ presecimo ravni kroz dve naspramne bočne ivice (dijagonalni presek). Dobijamo dve podudarne prave trostrane prizme čija je osnova pravougli trougao sa katetama $a$ i $b$. Svaka ima pola zapremine kvadra: $V = \frac{abH}{2} = \frac{ab}{2} \cdot H = B \cdot H$.
- Svaka prava trostrana prizma
- Svaki trougao se jednom svojom visinom deli na dva pravougla trougla, pa se i svaka prava trostrana prizma deli na dve prizme sa pravouglim osnovama. Zapremina celine je zbir zapremina delova: $B_1 H + B_2 H = (B_1 + B_2) H = B \cdot H$. Zato i za pravu trostranu prizmu važi $V = B \cdot H$; površinu trougla osnove računamo kao polovinu proizvoda stranice i visine na nju.
- Pravilna trostrana prizma
- Osnova je jednakostranični trougao stranice $a$, površine $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, pa je $V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$. Na primer, za $a = 2$ cm i $H = 9$ cm: $V = \sqrt{3} \cdot 9 = 9\sqrt{3}\ \mathrm{cm^3}$.
- Pravilna šestostrana prizma
- Duže dijagonale dele pravilan šestougao na šest jednakostraničnih trouglova, pa se pravilna šestostrana prizma deli na šest pravilnih trostranih prizmi iste visine. Njena zapremina je šest puta veća od zapremine jedne od njih: $V = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H$.
- Tačno i približno
- Kad osnova sadrži $\sqrt{3}$, tačna zapremina ima oblik $m\sqrt{3}$; to je jedan član, pa se lako deli ili poredi. Kad treba znati koliko materijala, vode ili betona ima, uzimamo $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. U obrnutim zadacima (iz zapremine visina) koren se skraćuje: iz $6\sqrt{3} \cdot H = 42\sqrt{3}$ sledi $H = 7$.
Formule
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $B$ | površina trougla osnove | cm² |
| $H$ | visina | cm |
Pravougli trougao: $B = \frac{ab}{2}$ (katete).
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | osnovna ivica | cm |
Uzmi $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ za približnu vrednost.
| Oznaka | Šta znači | Jedinica |
|---|---|---|
| $a$ | osnovna ivica | cm |
| $H$ | visina | cm |
Šest pravilnih trostranih prizmi iste ivice i visine.
Pitanja
Pitanje 1 od 10
1. Po kojoj formuli se računa zapremina prave trostrane prizme?
2. Kolika je površina osnove prizme ako je osnova pravougli trougao sa katetama $6$ cm i $8$ cm?
3. Kolika je površina osnove pravilne šestostrane prizme sa ivicom $a$?
4. Kolika je zapremina pravilne trostrane prizme sa $a = 4$ cm i $H = 5$ cm?
5. Koliko je približno $10\sqrt{3}$?
6. Kvadar je presečen dijagonalnim presekom na dva dela. Kakvi su delovi?
7. Šta se dešava sa zapreminom prizme ako se visina prepolovi, a osnova ostane ista?
8. Koliko kubnih decimetara ima $3$ litra?
9. Da li $V = B \cdot H$ važi i kad je osnova prave prizme tupougli trougao?
10. Trouglasta greda leži na zemlji. Šta je visina te prizme?
Rešeni zadaci
Potkrovlje kuće ima oblik prave trostrane prizme duge $12$ m. Zabat (prednji zid potkrovlja) je jednakokraki trougao sa osnovicom $8$ m i kracima $5$ m. Koliko kubnih metara vazduha ima u potkrovlju?
-
$v^2 = 5^2 - 4^2 = 9$, $\ v = 3$Visina trougla na osnovicu deli osnovicu na pola: pravougli trougao sa hipotenuzom $5$ i katetom $4$.
-
$B = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$Površina zabata u m².
-
$V = 12 \cdot 12 = 144$Dužina potkrovlja je visina prizme.
Šestougaona betonska ploča za stazu ima oblik pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $12$ cm i debljinom $6$ cm. Koliko kubnih decimetara betona treba za $50$ ploča? Uzmi $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.
-
$B = \frac{3 \cdot 144\sqrt{3}}{2} = 216\sqrt{3}$Šest jednakostraničnih trouglova stranice $12$ cm (u cm²).
-
$V = 216\sqrt{3} \cdot 6 = 1296\sqrt{3} \approx 2242{,}08$Zapremina jedne ploče u cm³; debljina je visina prizme.
-
$50 \cdot 2242{,}08 = 112\,104$Pedeset ploča, u cm³.
-
$112\,104\ \mathrm{cm^3} \approx 112{,}1\ \mathrm{dm^3}$Kubni decimetar ima hiljadu kubnih centimetara.
Pravilna trostrana prizma ima osnovnu ivicu $a$ i visinu $H$. Kako se promeni zapremina ako se osnovna ivica udvostruči, a visina ostane ista? A ako se udvostruči visina, a ivica ostane ista?
-
$\frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Kad se ivica udvostruči, površina osnove se poveća četiri puta (kvadrat ivice).
-
$V' = 4B \cdot H = 4V$Zapremina se poveća četiri puta.
-
$V'' = B \cdot 2H = 2V$Udvostručena visina udvostruči zapreminu.
Test
Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.
Pored puta se pravi zemljani nasip dug $60$ m. Njegov poprečni presek je jednakokraki trougao sa osnovicom $7$ m (na zemlji) i visinom $3$ m. Jedan kamion doveze $8$ m³ zemlje. Najmanje koliko tura kamiona treba?
Sveća ima oblik pravilne šestostrane prizme sa osnovnom ivicom $10$ cm i zapreminom $3300\sqrt{3}$ cm³. Kolika je njena visina (u centimetrima)?
Pravilna trostrana i pravilna šestostrana prizma imaju istu osnovnu ivicu i istu visinu. Koliko puta je zapremina šestostrane veća?
Bravo, čas je završen!
Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.
Napravi besplatan nalogPohvali se i pozovi drugara:
Sledeći čas: 38. Neke primene površine i zapremine prizme — kolika je masa šipke, koliko staje u saće?