Zapremina prizme i prave četvorostrane prizme — koliko kockica staje u kutiju?

Zapremina tela kao broj jediničnih kocaka koje ono sadrži (podudarna tela imaju jednake zapremine, zapremina celine je zbir zapremina delova); jedinice $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$, $\mathrm{m^3}$ i litar ($1\ \mathrm{dm^3} = 1\ \mathrm{l}$, $1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{l}$, $1\ \mathrm{l} = 1000\ \mathrm{cm^3}$); kvadar $V = abc$; prava prizma $V = B \cdot H$; kocka $V = a^3$; pravilna četvorostrana prizma $V = a^2 H$; prava četvorostrana prizma sa drugom osnovom (trapez); obrnuti zadaci (iz zapremine visina ili površina osnove); tela iste zapremine ne moraju biti podudarna ni imati istu površinu.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/295

Video

Kutiju oblika kvadra $4$ cm × $3$ cm × $2$ cm punimo kockicama ivice $1$ cm. Koliko kockica staje, i zašto se zapremina prizme računa kao površina osnove puta visina? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Šta je zapremina: Svako telo zauzima deo prostora; veličina tog dela je zapremina tela. Merimo je tako što prebrojimo koliko jediničnih kocaka (kocaka ivice $1$ cm, $1$ dm ili $1$ m) staje u telo. Pri tome važi: podudarna tela imaju jednake zapremine, a ako telo podelimo na delove, zapremina celog tela je zbir zapremina delova. Zapremina kocke ivice $1$ cm je $1\ \mathrm{cm^3}$ (kubni centimetar).
Jedinice za zapreminu: Kocka ivice $1$ dm se sastoji od $10 \cdot 10 \cdot 10$ kocaka ivice $1$ cm, pa je $1\ \mathrm{dm^3} = 1000\ \mathrm{cm^3}$; isto tako $1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{dm^3}$. Za tečnosti se koristi litar: $1\ \mathrm{l} = 1\ \mathrm{dm^3}$, pa je $1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{l}$, a $1\ \mathrm{ml} = 1\ \mathrm{cm^3}$. Korak između susednih jedinica za zapreminu je $1000$, za površinu $100$, a za dužinu $10$.
Zapremina kvadra i kocke: U kvadar sa ivicama $a$, $b$, $c$ (celi brojevi u istoj jedinici) u jedan sloj na dnu staje $a \cdot b$ jediničnih kocaka, a takvih slojeva ima $c$. Zato je $V = a \cdot b \cdot c$; to važi i kad ivice nisu celi brojevi. Kocka ima sve ivice jednake, pa je $V = a^3$. Sve ivice moraju biti u istoj jedinici pre množenja.
Zapremina prave prizme: Kod kvadra je $a \cdot b$ površina osnove $B$, a $c$ visina $H$, pa je $V = B \cdot H$. Isto pravilo važi za svaku pravu prizmu: površina osnove kazuje koliko jediničnih kocaka (ili njihovih delova) staje u sloj debljine $1$, a visina koliko ima slojeva. Za pravilnu četvorostranu prizmu je $B = a^2$, pa $V = a^2 H$; za prizmu sa osnovom trapezom $B$ računamo kao površinu trapeza.
Obrnuti zadaci: Iz $V = B \cdot H$ sledi $H = \frac{V}{B}$ i $B = \frac{V}{H}$. Ako znamo koliko vode (ili peska, betona) ima u posudi oblika prizme i kolika je površina dna, delimo i dobijamo visinu sloja. Pazi na jedinice: litre prvo pretvori u kubne decimetre ili centimetre, u skladu sa merama dna.
Ista zapremina, različito telo: Dva tela iste zapremine ne moraju biti podudarna: kocka $2 \times 2 \times 2$ cm i kvadar $1 \times 1 \times 8$ cm imaju po $8\ \mathrm{cm^3}$. Ne moraju imati ni istu površinu: kocka ima $24\ \mathrm{cm^2}$, a kvadar $34\ \mathrm{cm^2}$. Zato proizvođači biraju oblik pakovanja i prema količini materijala za ambalažu.

Formule

Zapremina prave prizme

V = B \cdot H

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$B$	površina osnove	cm²
$H$	visina	cm
$V$	zapremina	cm³

Kvadar: $V = abc$; pravilna četvorostrana: $V = a^2 H$; kocka: $V = a^3$.

Jedinice

1\ \mathrm{m^3} = 1000\ \mathrm{dm^3}, \qquad 1\ \mathrm{dm^3} = 1000\ \mathrm{cm^3}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\mathrm{dm^3}$	kubni decimetar	—

$1\ \mathrm{dm^3} = 1\ \mathrm{l}$, $1\ \mathrm{cm^3} = 1\ \mathrm{ml}$.

Obrnuto

H = \frac{V}{B}, \qquad B = \frac{V}{H}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$V$	zapremina	cm³

Jedinice uskladi pre deljenja.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kako se računa zapremina kvadra sa ivicama $a$, $b$, $c$?

2. Kolika je zapremina kocke ivice $3$ cm?

3. Šta označava $B$ u formuli $V = B \cdot H$?

4. Kolika je zapremina pravilne četvorostrane prizme sa $a = 4$ cm i $H = 10$ cm?

5. Koliko kubnih centimetara ima $1$ dm³?

6. Moraju li dva tela iste zapremine biti podudarna?

7. Koliku zapreminu ima kocka ivice $1$ cm?

8. Koja je od ovih jedinica jedinica za zapreminu?

9. Kvadar ima osnovu površine $12$ cm² i zapreminu $60$ cm³. Kolika mu je visina?

10. Kako se računa zapremina prave prizme čija je osnova romb?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Peskovnik u dvorištu vrtića ima oblik kvadra sa dnom $1{,}5$ m × $1{,}2$ m, a pesak treba da bude do visine $30$ cm. Pesak se prodaje u kesama od $25$ litara. Koliko kesa treba kupiti?

$V = 1{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}54$

Sve mere u metrima: $30$ cm $= 0{,}3$ m. Zapremina peska u m³.
$0{,}54\ \mathrm{m^3} = 540\ \mathrm{dm^3} = 540\ \mathrm{l}$

Jedan kubni metar ima $1000$ kubnih decimetara, a kubni decimetar je litar.
$540 : 25 = 21{,}6$

Toliko kesa po zapremini.
$22$

Kesa mora biti dovoljno: $21$ kesa je samo $525$ l, pa treba $22$ kese.

Odgovor: $22$ kese

Zadatak 2

Betonski stepenik ima oblik prave prizme duge $1{,}2$ m. Osnova (bočna strana stepenika) je pravougli trapez sa osnovicama $30$ cm i $18$ cm i visinom $15$ cm. Koliko kubnih metara betona treba?

$B = \frac{(30 + 18) \cdot 15}{2} = 360$

Površina trapeza u cm².
$V = 360 \cdot 120 = 43\,200$

Dužina stepenika je visina prizme: $1{,}2$ m $= 120$ cm. Zapremina u cm³.
$43\,200\ \mathrm{cm^3} = 43{,}2\ \mathrm{dm^3} = 0{,}0432\ \mathrm{m^3}$

Dva puta delimo sa $1000$.

Odgovor: $0{,}0432$ m³ betona

Zadatak 3

Sok od $1{,}5$ l pakuje se u kutiju oblika kvadra. Kolika mora biti visina kutije ako je dno $10$ cm × $10$ cm, a kolika ako je dno $6$ cm × $10$ cm?

$1{,}5\ \mathrm{l} = 1500\ \mathrm{cm^3}$

Litar je hiljadu kubnih centimetara.
$H = 1500 : 100 = 15$

Prvo pakovanje: $B = 100$ cm².
$H = 1500 : 60 = 25$

Drugo pakovanje: $B = 60$ cm². Manje dno, viša kutija — zapremina je ista, a tela nisu podudarna.

Odgovor: $15$ cm, odnosno $25$ cm

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Drvena kutija za sadnice bez poklopca ima oblik kvadra sa spoljašnjim merama $52$ cm × $36$ cm × $22$ cm (poslednja mera je visina). Dno i sva četiri zida debeli su $1$ cm. Koliko kubnih centimetara drveta je upotrebljeno?

Zadatak 2

U kartonsku kutiju za transport, unutrašnjih dimenzija $20$ cm × $12$ cm × $60$ cm, slažu se kutije sa kockicama za igru oblika kvadra dimenzija $10$ cm × $6$ cm × $15$ cm, svako pakovanje u istom položaju (ivica od $10$ cm uz ivicu od $20$ cm, od $6$ cm uz $12$ cm, od $15$ cm uz $60$ cm). Kutija se tako ispuni bez praznina. Koliko ih stane?

Zadatak 3

Visina prave prizme se utrostruči, a osnova ostane ista. Šta se dešava sa zapreminom?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 37. Zapremina prave trostrane i pravilne šestostrane prizme — pola kvadra, šest trostranih prizmi