Primena linearnih jednačina — kako priču pretvoriti u jednačinu?

Rešavanje problema iz života i geometrije pomoću linearne jednačine: šta je dato, a šta se traži; izbor nepoznate (i jedinice); izražavanje ostalih veličina preko nepoznate („za $k$ veći“, „$k$ puta veći“, „za $k$ manji od dvostrukog“, zagrada kod „trostruki zbir“); jednakost iz priče (zbir delova je celina, iste stranice kvadrata, isti obim); rešavanje; odgovor i provera u priči, uključujući smisao rešenja (prirodan broj, pozitivna dužina, ugao); komplement i suplement ugla, zbir uglova trougla, obim pravougaonika.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/282

Video

Planinarska staza ima tri dela: uspon, greben i silazak. Greben je za $2$ km duži od uspona, a silazak je dva puta duži od uspona. Cela staza ima $18$ km. Koliko je dug svaki deo? Pogledaj kako se priča pretvara u jednačinu, pa nastavi čas.

Pojmovi

Od priče do jednačine: Zadatak sa pričom rešavamo jednačinom u nekoliko koraka: 1) pročitamo priču i izdvojimo šta znamo, a šta tražimo; 2) izaberemo nepoznatu i zapišemo šta tačno ona znači i u kojoj je jedinici („$x$ — dužina uspona u km“); 3) ostale veličine izrazimo preko nepoznate; 4) nađemo dve jednake veličine i povežemo ih znakom $=$; 5) rešimo jednačinu; 6) odgovorimo na pitanje iz priče rečima i proverimo odgovor u samoj priči. Najčešće se greši u koracima 3 i 4, a korak 6 se najčešće preskače.
Koju veličinu uzimamo za nepoznatu: Za nepoznatu je najzgodnije uzeti veličinu preko koje se ostale lako izražavaju — obično onu sa kojom se ostale porede („greben je duži od USPONA“, „dužina je veća od ŠIRINE“). Tada ostale veličine dobijamo bez razlomaka. Nepoznata ne mora biti baš ono što se traži: ako tražimo površinu, za nepoznatu možemo uzeti širinu, pa površinu izračunati na kraju.
Reči u izraze: Za broj $x$: „za $5$ veći“ je $x + 5$, „za $5$ manji“ je $x - 5$, „$5$ puta veći“ je $5x$, „polovina“ je $\frac{x}{2}$. Pazi na redosled: „za $6$ manje od dvostrukog“ je $2x - 6$ (prvo udvostručimo, pa oduzmemo), a „dvostruko više od broja koji je za $6$ manji“ je $2(x - 6) = 2x - 12$. „Trostruki zbir broja $x$ i broja $4$“ je $3(x + 4)$ — kad se množi zbir, zbir ide u zagradu.
Gde je jednakost u priči: Jednačina nastaje kad istu veličinu zapišemo na dva načina. Najčešće je to: zbir delova jednak je celini (delovi staze, uglovi trougla); dve veličine koje moraju biti jednake (stranice kvadrata, količine na dve strane); poznata vrednost zapisana izrazom (obim, ukupna cena). Svaki podatak iz priče treba da se iskoristi tačno jednom — ili u izrazima, ili u jednakosti.
Uglovi i obim: U geometrijskim pričama najčešće koristimo: komplement ugla $\alpha$ je $90^\circ - \alpha$ (zajedno daju prav ugao), a suplement $180^\circ - \alpha$ (zajedno daju opružen ugao); zbir uglova trougla je $180^\circ$, a u jednakokrakom trouglu uglovi na osnovici su jednaki; obim pravougaonika sa stranicama $a$ i $b$ je $2(a + b)$, a kvadrat ima sve stranice jednake.
Da li odgovor ima smisla: Rešenje jednačine nije uvek odgovor na pitanje. Proveravamo ga u priči: broj ljudi, knjiga ili autobusa mora biti prirodan broj, dužine i mase pozitivne, ugao trougla između $0^\circ$ i $180^\circ$. Ako jednačina da npr. $x = -3$ za dužinu stranice ili $x = 7{,}5$ za broj autobusa, račun ne mora biti pogrešan — podaci u priči su nemogući, i to je odgovor. Proveru radimo u PRIČI, ne samo u jednačini: ako smo jednačinu pogrešno postavili, ona će „proći“ proveru u jednačini, a neće u priči.

Formule

Komplement i suplement

90^\circ - \alpha \qquad \text{i} \qquad 180^\circ - \alpha

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha$	dati ugao	°

Komplement dopunjuje ugao do pravog, a suplement do opruženog ugla.

Zbir uglova trougla

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$	uglovi trougla	°

U jednakokrakom trouglu uglovi na osnovici su jednaki.

Obim pravougaonika

O = 2(a + b)

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a$, $b$	stranice	cm
$O$	obim	cm

Kod kvadrata je $a = b$, pa je $O = 4a$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Kako zapisujemo broj koji je za $7$ veći od broja $x$?

2. Kako zapisujemo „trostruki zbir broja $x$ i broja $4$“?

3. Šta prvo zapisujemo kad postavljamo jednačinu iz priče?

4. Kad izaberemo nepoznatu, kako zapisujemo ostale veličine iz priče?

5. Rešenje jednačine za broj učenika u grupi je $x = 12{,}5$. Šta zaključujemo?

6. Koliki je suplement ugla od $65^\circ$?

7. Koliki je zbir uglova svakog trougla?

8. Stranice pravougaonika su $x + 3$ i $x$. Koji izraz je njegov obim?

9. Zašto odgovor proveravamo u priči, a ne samo u jednačini?

10. Rešili smo jednačinu i dobili širinu $x = 3$ cm, a pita se površina. Šta još treba uraditi?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

U jednakokrakom trouglu ugao pri vrhu je za $30^\circ$ manji od ugla na osnovici. Koliki su uglovi tog trougla?

$x$ — ugao na osnovici (u stepenima)

Ugao pri vrhu se poredi sa uglom na osnovici, pa njega uzimamo za nepoznatu. Oba ugla na osnovici su jednaka, $x$ i $x$.
$x - 30$ — ugao pri vrhu

„Za $30^\circ$ manji“ od $x$.
$x + x + (x - 30) = 180$

Jednakost iz priče: zbir uglova trougla je $180^\circ$.
$3x = 180 + 30 = 210$, $\ x = 70$

Saberemo članove sa $x$, broj $-30$ prebacimo desno i podelimo sa $3$.
$70^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ$

Provera u priči: ugao pri vrhu je $70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$, za $30^\circ$ manji od ugla na osnovici, a zbir je $180^\circ$.

Odgovor: uglovi na osnovici su po $70^\circ$, a ugao pri vrhu $40^\circ$

Zadatak 2

Fotografija dimenzija $30$ cm i $20$ cm stavljena je u ram iste širine sa svih strana. Obim spoljne ivice rama je $124$ cm. Kolika je širina rama?

$x$ — širina rama (u cm)

Nepoznata je ono što se traži.
$30 + 2x$ i $\ 20 + 2x$

Spoljne stranice: fotografiji se sa OBE strane doda po jedna širina rama, pa svaka stranica raste za $2x$.
$2(30 + 2x + 20 + 2x) = 124$

Jednakost iz priče: obim spoljne ivice, $O = 2(a + b)$.
$2(50 + 4x) = 124$, $\ 100 + 8x = 124$

U zagradi saberemo slične članove, pa se oslobodimo zagrade.
$8x = 24$, $\ x = 3$

Broj $100$ prebacimo desno i obe strane podelimo sa $8$.
$2(36 + 26) = 2 \cdot 62 = 124$

Provera u priči: spoljna ivica je $36$ cm i $26$ cm, a njen obim je $124$ cm.

Odgovor: širina rama je $3$ cm

Zadatak 3

Razredna starešina kaže: „U odeljenju je $27$ učenika, a dečaka je za $4$ više nego devojčica.“ Koliko je devojčica? Šta zaključuješ?

$x$ — broj devojčica, $\ x + 4$ — broj dečaka

Dečaci se porede sa devojčicama, pa je nepoznata broj devojčica.
$x + (x + 4) = 27$

Zbir dečaka i devojčica je broj učenika u odeljenju.
$2x = 23$, $\ x = 11{,}5$

Broj $4$ prebacimo desno i podelimo sa $2$.
$11{,}5 \notin N$

Broj devojčica mora biti prirodan broj. Jednačina je tačno rešena, ali takvo odeljenje ne postoji: ako je dečaka za $4$ više, ukupan broj učenika mora biti paran ($2x + 4$).

Odgovor: takvo odeljenje ne postoji — podaci se ne slažu (verovatno je pogrešno izgovoren neki broj)

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Ugao je za $20^\circ$ manji od četvorostrukog svog komplementa. Koliki je taj ugao? (Upiši samo broj stepeni.)

Zadatak 2

Dužina pravougaonika je tri puta veća od njegove širine. Ako dužinu skratimo za $10$ cm, a širinu produžimo za $2$ cm, dobijamo kvadrat. Kolika je površina početnog pravougaonika (u cm²)?

Zadatak 3

Luka ima za $6$ sličica manje od dvostrukog broja Milinih sličica, a zajedno imaju $54$ sličice. Koliko sličica ima Mila?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 24. Primena linearnih jednačina na probleme kretanja — koliko brzo, koliko dugo, koliko daleko?