Poliedri — koliko šavova ima fudbalska lopta?

Geometrijsko telo i njegova površ (ravna i kriva); poliedar; strane, ivice, temena i dijagonale poliedra; mreža poliedra; pravilni poliedri (Platonova tela); brojanje ivica i temena kad svaku ivicu brojimo dvaput; pravilo T − I + S = 2 za konveksne poliedre.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/275

Video

Klasična fudbalska lopta sašivena je od 12 petouglova i 20 šestouglova. Koliko ima šavova, a koliko tačaka u kojima se sreću šavovi? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Telo i njegova površ: Kocka šećera, konzerva i jaje zauzimaju deo prostora — to su geometrijska tela. Granica koja odvaja telo od ostatka prostora je površ tela; površ i deo prostora unutar nje zajedno čine telo. Površ može biti sastavljena od ravnih delova (kocka šećera), od krivih delova (jaje) ili od jednih i drugih (konzerva: dva kruga i savijeni omotač).
Poliedar: Telo čija je površ sastavljena od konačno mnogo mnogouglova zove se poliedar. Kutija za cipele, kocka za igru i piramida od kartona su poliedri, a konzerva (valjak), kornet za sladoled (kupa) i lopta nisu, jer im je deo površi kriv. Dva mnogougla površi imaju najviše jednu zajedničku stranicu.
Strane, ivice, temena, dijagonale: Mnogouglovi koji čine površ su strane poliedra. Dve strane sa zajedničkom stranicom su susedne, a ta zajednička stranica je ivica poliedra. Tačka u kojoj se sastaju tri ili više strana je teme. Duž koja spaja dva temena koja nisu na istoj strani je dijagonala poliedra; duž između dva temena iste strane je ivica ili dijagonala te strane, a ne dijagonala poliedra. Na primer, kocka ima $4$ dijagonale — svako teme sa onim koje mu je „naspram“ kroz unutrašnjost kocke.
Mreža poliedra: Kad kartonsku kutiju rasečemo duž nekih ivica i razvijemo je tako da sve strane leže u jednoj ravni, dobijamo figuru od mnogouglova — mrežu poliedra. Isti poliedar ima više različitih mreža (zavisi od toga koje ivice rasečemo), a od mreže savijanjem ponovo dobijamo poliedar.
Pravilni poliedri: Konveksan poliedar čije su sve strane podudarni pravilni mnogouglovi, a u svakom temenu se sastaje isti broj strana, zove se pravilan poliedar. Ima ih tačno pet (Platonova tela, po grčkom filozofu Platonu): tetraedar ($4$ jednakostranična trougla), heksaedar ili kocka ($6$ kvadrata), oktaedar ($8$ trouglova), dodekaedar ($12$ pravilnih petouglova) i ikosaedar ($20$ trouglova). Kocka za igru je heksaedar, a za igre se prave i kocke u obliku ostalih Platonovih tela.
Brojanje dvaput: Kad saberemo broj stranica svih strana poliedra, svaku ivicu brojimo tačno dvaput (pripada dvema stranama), pa je broj ivica polovina tog zbira. Isti zbir je i broj svih uglova strana; ako se u svakom temenu sastaje isti broj strana $k$, broj temena je taj zbir podeljen sa $k$. Za konveksne poliedre važi i pravilo $T - I + S = 2$ ($T$ — temena, $I$ — ivice, $S$ — strane); prihvatamo ga bez dokaza i koristimo kao proveru.

Formule

Broj ivica

I = \frac{\text{zbir broja stranica svih strana}}{2}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$I$	broj ivica	—

Svaka ivica pripada dvema stranama.

Broj temena

T = \frac{\text{zbir broja stranica svih strana}}{k}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$k$	broj strana koje se sastaju u svakom temenu	—

Kad se u svakom temenu sastaje isti broj strana.

Provera za konveksan poliedar

T - I + S = 2

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$T, I, S$	broj temena, ivica i strana	—

Prihvatamo bez dokaza.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koje od ovih tela je poliedar?

2. Zašto konzerva (valjak) nije poliedar?

3. Šta je ivica poliedra?

4. Duž spaja dva temena kocke koja su na istoj strani. Šta je ta duž?

5. Koliko dijagonala ima kocka?

6. Šta dobijamo kad površ poliedra rasečemo duž nekih ivica i sve strane razvijemo u jednu ravan?

7. Koliko ima pravilnih poliedara?

8. Od kojih mnogouglova je sastavljena površ pravilnog dodekaedra?

9. Saberemo broj stranica svih strana poliedra. Koliko puta smo pri tome brojali svaku ivicu?

10. Konveksan poliedar ima $10$ temena i $15$ ivica. Koliko ima strana?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Šator ima pod oblika pravougaonika, dva kosa pravougaona krila krova i dva trouglasta zida, napred i pozadi. Koliko strana, ivica, temena i dijagonala ima to telo?

$S = 1 + 2 + 2 = 5$

Pod, dva krila krova i dva trouglasta zida.
$I = \frac{4 + 4 + 4 + 3 + 3}{2} = 9$

Tri pravougaonika i dva trougla; svaku ivicu brojimo dvaput.
$T = 6$

Po tri temena svakog trouglastog zida (vrh i dva ugla na podu).
nema dijagonala

Svaka dva temena su na nekoj zajedničkoj strani; provera: $6 - 9 + 5 = 2$.

Odgovor: $5$ strana, $9$ ivica, $6$ temena, $0$ dijagonala

Zadatak 2

Kutija ima dve podudarne osnove oblika pravilnog osmougla, jednu iznad druge, i osam bočnih strana pravougaonika. Koliko ima temena, ivica, strana i dijagonala?

$T = 2 \cdot 8 = 16, \quad S = 8 + 2 = 10$

Po osam temena na svakoj osnovi; osam bočnih strana i dve osnove.
$I = 8 + 8 + 8 = 24$

Ivice donje osnove, gornje osnove i osam uspravnih ivica.
$15 - 7 - 3 = 5$

Teme donje osnove: od ostalih $15$ temena, $7$ je na istoj osnovi, a $3$ na susednim bočnim stranama (teme iznad i dva pored njega).
$\frac{16 \cdot 5}{2} = 40$

Svaku dijagonalu smo brojali iz oba kraja; provera: $16 - 24 + 10 = 2$.

Odgovor: $16$ temena, $24$ ivice, $10$ strana, $40$ dijagonala

Zadatak 3

Klasična fudbalska lopta sašivena je od $12$ petouglova i $20$ šestouglova, a u svakom temenu sastaju se tri pločice. Ako pločice zamislimo kao ravne, dobijamo poliedar. Koliko ima ivica (šavova) i temena?

$12 \cdot 5 + 20 \cdot 6 = 180$

Zbir broja stranica svih pločica.
$I = \frac{180}{2} = 90$

Svaki šav je zajednička stranica dve pločice.
$T = \frac{180}{3} = 60$

Zbir je i broj svih uglova pločica, a u svakom temenu su tri.
$60 - 90 + 32 = 2$

Provera pravilom $T - I + S = 2$.

Odgovor: $90$ ivica i $60$ temena

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Mila je od slamčica i kuglica plastelina napravila model konveksnog poliedra: kuglice su temena, a slamčice ivice. Broj slamčica je $28$, a broj strana modela $16$. Koliko kuglica plastelina je upotrebila?

Zadatak 2

Na času tehničkog pravimo model poliedra od kartonskih pločica: $2$ pločice u obliku kvadrata i $8$ pločica u obliku jednakostraničnog trougla, sve sa istom dužinom stranice. U svakom temenu modela sastaju se po $4$ pločice. Koliko ivica ima model?

Zadatak 3

Koje od ovih tela je pravilan poliedar?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 17. Pojam jednačine — kada je jednakost sa slovom tačna?