Normalna projekcija prave, ugao između prave i ravni — koliko visoko te podignu pokretne stepenice?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Projekcija prave

Pravu projektujemo tako što projektujemo njene tačke. Laserski zrak uperen normalno na pod pogađa ga u jednoj tački, i sve tačke zraka projektuju se baš u nju: projekcija prave normalne na ravan je tačka u kojoj prava prolazi kroz ravan. Zrak lasera paralelan sa podom projektuje se na pod u pravu paralelnu sa njim, a prava koja leži u ravni sama je sebi projekcija. Ako prava seče ravan $\pi$ u tački $T$, a nije normalna na nju, uzmemo još jednu njenu tačku $V$ i njenu projekciju $V'$: projekcija prave je prava $TV'$, jer se $T$ projektuje u sebe.

Zašto je projekcija prava

Neka prava $p$ seče ravan $\pi$ u tački $T$ i nije normalna na nju, i neka je $V'$ projekcija tačke $V \ne T$ prave $p$. Prava $p$ i normala $VV'$ određuju ravan $\beta$. Svaka normala iz neke tačke prave $p$ na $\pi$ paralelna je sa $VV'$ i prolazi kroz tačku prave $p$, pa leži u $\beta$. Zato su sve projekcije i u ravni $\beta$ i u ravni $\pi$, to jest na njihovoj pravoj preseka — a to je prava $TV'$.

Ugao između prave i ravni

Prava koja seče ravan, a nije normalna na nju, gradi sa svojom projekcijom četiri ugla: dva jednaka oštra i dva jednaka tupa. Oštar je nagibni ugao prave prema ravni — njega zovemo ugao između prave i ravni. Dogovor: ako je prava paralelna sa ravni ili leži u njoj, ugao je $0^\circ$, a ako je normalna na ravan, ugao je $90^\circ$. Pokretne stepenice obično su nagnute prema podu pod uglom od oko $30^\circ$.

Trougao $TVV'$

Neka prava seče ravan u tački $T$ i nije normalna na nju, a $V$ je još jedna njena tačka. Trougao $TVV'$ je pravougli sa pravim uglom kod $V'$: hipotenuza $TV$ je deo prave, kateta $VV'$ je rastojanje tačke $V$ od ravni, kateta $TV'$ je projekcija, a ugao kod $T$ je nagibni ugao. Kod $30^\circ$ trougao je polovina jednakostraničnog, pa je $VV' = \frac{TV}{2}$ i $TV' = \frac{TV\sqrt{3}}{2}$; kod $45^\circ$ je polovina kvadrata, pa je $VV' = TV'$ i $TV = VV'\sqrt{2}$; kod $60^\circ$ je $TV' = \frac{TV}{2}$ i $VV' = \frac{TV\sqrt{3}}{2}$. Važi i obrnuto: ako je kateta polovina hipotenuze, naspram nje je ugao od $30^\circ$, a ako su katete jednake, oštri uglovi su po $45^\circ$.

Dve tačke prave van ravni

Neka su $A$ i $B$ tačke prave $p$ sa iste strane ravni, prava nije normalna na ravan i $AA' < BB'$. Kao u prošlom času, na duži $BB'$ uočimo tačku $H$ sa $B'H = AA'$: trougao $AHB$ je pravougli, $AH = A'B'$ i $HB = BB' - AA'$. Prava $AH$ je paralelna sa projekcijom $A'B'$ i leži sa pravom $p$ u istoj ravni, pa je ugao kod $A$ jednak uglu između prave $p$ i njene projekcije — to je nagibni ugao. Na primer, ako je $HB = A'B'$, ugao je $45^\circ$, a ako je $HB = \frac{AB}{2}$, ugao je $30^\circ$.

Projekcija pravougaonika

Neka pravougaonik $KLMN$ ima stranicu $KL$ u ravni $\pi$, a ravan pravougaonika je kosa prema $\pi$. Stranica $KL$ projektuje se u sebe, a $M$ i $N$ u $M'$ i $N'$. Prava $KL$ normalna je na $LM$ i na normalu $MM'$, pa je normalna na ravan $LMM'$, a time i na $LM'$. Zato je projekcija $KLM'N'$ pravougaonik sa stranicama $KL$ i $LM'$, gde je $LM'^2 = LM^2 - MM'^2$, pa je $LM' < LM$. Ako pravougaonik leži u $\pi$, projekcija je on sam, a ako je njegova ravan normalna na $\pi$, projekcija je duž $KL$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.