Normalna projekcija tačke i duži na ravan — zašto je žičara na karti kraća nego u stvarnosti?

Kosa i normalna projekcija, projekcijska ravan i projektujući zraci; normalna projekcija tačke (tačka ravni projektuje se u samu sebe); projekcija duži — kada je jednaka duži, kada je tačka, a kada kraća, i obrnuto; dužina duži i njene projekcije kad su krajevi sa iste i sa raznih strana ravni (pravougli trougao i Pitagorina teorema).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/273

Video

Na karti planine žičara je duga 450 metara. Da li je i u stvarnosti toliko duga? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Kosa i normalna projekcija: Kad sunce sija ukoso, senka štapa na tlu nastaje od zraka koji su kosi prema tlu — to je kosa projekcija. Kad svaku tačku predmeta „spustimo“ na ravan po pravoj koja je normalna na tu ravan, dobijamo normalnu (ortogonalnu) projekciju. Tako nastaju karte i pogledi na zgradu odozgo: crtamo ono što vidimo kad gledamo tačno odozgo. Ravan na koju projektujemo je projekcijska ravan, a prave po kojima projektujemo su projektujući zraci.
Normalna projekcija tačke: Iz tačke $A$ povučemo normalu na ravan $\pi$; njeno podnožje $A'$ (tačka u kojoj normala prolazi kroz ravan) je normalna projekcija tačke $A$, a prava $AA'$ je projektujući zrak tačke $A$. Kroz $A$ prolazi samo jedna normala na $\pi$, pa je projekcija tačke uvek jedna tačka, a dužina $AA'$ je rastojanje tačke $A$ od ravni. Tačka koja leži u ravni $\pi$ projektuje se u samu sebe. Dve prave normalne na istu ravan su paralelne (prihvatamo bez dokaza), pa su projektujući zraci međusobno paralelni.
Projekcija duži: Projekcija duži $AB$ sastoji se od projekcija svih njenih tačaka; to je duž $A'B'$ ili jedna tačka. Vodoravna greda ispod plafona projektuje se na pod u duž iste dužine ($AA'B'B$ je pravougaonik). Uspravan stub projektuje se na pod u jednu tačku. Duž koja leži u ravni sama je sebi projekcija. Duž koja nije ni paralelna sa ravni, ni normalna na nju, a ne leži ni u njoj, kosa je prema ravni; njena projekcija je duž kraća od nje (sledeći pojmovi). Važi i obrnuto: ako je projekcija tačka, duž je normalna na ravan; ako je projekcija iste dužine kao duž, duž je paralelna sa ravni ili leži u njoj; ako je projekcija kraća duž, duž je kosa prema ravni.
Krajevi duži sa iste strane ravni: Neka su $A$ i $B$ sa iste strane ravni $\pi$ i neka je $AA' < BB'$. Tražimo pravougli trougao sa hipotenuzom $AB$ i katetom jednakom projekciji. Na duži $BB'$ uočimo tačku $H$ za koju je $B'H = AA'$ („u visini“ tačke $A$). Četvorougao $AA'B'H$ je pravougaonik, pa je $AH = A'B'$ i $AH \parallel A'B'$, a $HB = BB' - AA'$. Trougao $AHB$ ima prav ugao kod $H$, jer je $HB$ deo normale na ravan, a $AH$ je paralelna sa pravom $A'B'$ te ravni, pa je $AB^2 = A'B'^2 + (BB' - AA')^2$. (Četvorougao $AA'B'B$ je pravougli trapez.) Kad je $A$ u ravni ($AA' = 0$), $H$ je baš tačka $B'$.
Krajevi duži sa raznih strana ravni: Neka su $A$ i $B$ sa raznih strana ravni $\pi$. Tačku $H$ sada biramo na produžetku duži $BB'$ preko $B'$, sa iste strane ravni kao $A$, tako da je $B'H = AA'$. Ponovo je $AA'B'H$ pravougaonik i $AH = A'B'$, ali je sada $HB = BB' + AA'$. Iz pravouglog trougla $AHB$ dobijamo $AB^2 = A'B'^2 + (AA' + BB')^2$.

Formule

Projekcija tačke

A' \in \pi, \quad AA' \perp \pi

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A'$	normalna projekcija tačke $A$	—
$AA'$	rastojanje tačke $A$ od ravni	cm

Tačka ravni projektuje se u samu sebe.

Krajevi sa iste strane ravni

AB^2 = A'B'^2 + (BB' - AA')^2

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$A'B'$	projekcija duži $AB$	cm

Uslov: $BB' \ge AA'$; za $AA' = 0$ kraj $A$ je u ravni.

Krajevi sa raznih strana ravni

AB^2 = A'B'^2 + (AA' + BB')^2

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$AA', BB'$	rastojanja krajeva od ravni	cm

Duž $AB$ tada prolazi kroz ravan.

Duž i projekcija

A'B' \le AB

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\le$	manje ili jednako	—

Jednakost važi kad je duž paralelna sa ravni ili leži u njoj.

Pitanja

Pitanje 1 od 11

1. Šta je normalna projekcija tačke $A$ na ravan $\pi$?

2. Sunčevi zraci padaju na tlo, ali nisu normalni na njega. Kakva projekcija štapa je njegova senka na tlu?

3. Kocka stoji na stolu. Šta je normalna projekcija njene uspravne ivice na ravan stola?

4. Na karti grada, koja prikazuje pogled tačno odozgo, kako izgleda uspravan dimnjak (zamišljamo ga kao duž)?

5. Vodoravna greda ispod plafona duga je $6$ m. Kolika je njena normalna projekcija na vodoravan pod?

6. Zašto je žičara na karti kraća nego u stvarnosti?

7. Zašto su projektujući zraci $AA'$ i $BB'$ paralelni?

8. Normalna projekcija duži na ravan je jedna tačka. Šta važi za tu duž?

9. Krajevi duži $AB$ su sa iste strane ravni $\pi$, duž nije normalna na ravan, a $AA' \ne BB'$. Kakav je četvorougao $AA'B'B$?

10. Tačke $A$ i $B$ su sa iste strane ravni, $AA' = 3$ cm i $BB' = 7$ cm. Na zraku $BB'$ je tačka $H$ za koju je $B'H = AA'$. Koliko je $HB$?

11. Koja jednakost važi kad su krajevi duži $AB$ sa raznih strana ravni?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Tačke $A$ i $B$ su sa iste strane ravni $\pi$, $AA' = 5$ cm, $BB' = 25$ cm, a projekcija duži $AB$ je $A'B' = 21$ cm. Kolika je duž $AB$?

$HB = 25 - 5 = 20$ cm

Na zraku $BB'$ uočimo tačku $H$ za koju je $B'H = AA' = 5$ cm.
$AH = A'B' = 21$ cm

$AA'B'H$ je pravougaonik.
$AB^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841$

Trougao $AHB$ je pravougli sa pravim uglom kod $H$.
$AB = 29$ cm

Proveri: $29 \cdot 29 = 841$.

Odgovor: $AB = 29$ cm

Zadatak 2

Tačke $A$ i $B$ su sa raznih strana ravni $\pi$, $AA' = 13$ cm, $A'B' = 56$ cm i $AB = 65$ cm. Koliko je tačka $B$ udaljena od ravni?

$HB^2 = 65^2 - 56^2 = 4\,225 - 3\,136 = 1\,089$

Tačka $H$ je na produžetku zraka $BB'$ preko $B'$, sa $B'H = AA'$; trougao $AHB$ je pravougli i $AH = A'B'$.
$HB = 33$ cm

Proveri: $33 \cdot 33 = 1\,089$.
$BB' = 33 - 13 = 20$ cm

Krajevi su sa raznih strana, pa je $HB = AA' + BB'$.

Odgovor: $BB' = 20$ cm

Zadatak 3

Na karti planine (dužine čitamo prema razmeri) žičara je duga $450$ m. Donja stanica je $60$ m, a gornja $340$ m iznad vodoravne ravni doline. Koliko je duga zategnuta sajla žičare (zamišljamo je kao duž)?

karta = normalna projekcija

Karta prikazuje pogled tačno odozgo, pa je $450$ m dužina projekcije $A'B'$ na vodoravnu ravan.
$340 - 60 = 280$ m

Stanice su sa iste strane ravni; razlika njihovih visina je $HB$.
$AB^2 = 450^2 + 280^2 = 202\,500 + 78\,400 = 280\,900$

Pravougli trougao $AHB$.
$AB = 530$ m

Sajla je za $80$ m duža nego na karti.

Odgovor: $530$ m

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Dve lampe vise sa plafona na uspravnim kablovima (lampe zamišljamo kao tačke $A$ i $B$, a kuke na plafonu kao tačke $A'$ i $B'$). Kabl lampe $A$ dug je $50$ cm, a kabl lampe $B$ $115$ cm. Kuke su na rastojanju $72$ cm. Koliko su lampe udaljene jedna od druge (u cm)?

Zadatak 2

Tačke $A$ i $B$ su sa raznih strana ravni $\pi$, a duž $AB$ nije normalna na $\pi$ i prolazi kroz ravan u tački $T$. Gde je tačka $T$?

Zadatak 3

Dve lampe vise sa plafona na uspravnim kablovima različitih dužina. Oba kabla produžimo za po $20$ cm, a kuke na plafonu ostaju na istom mestu. Šta se dešava sa rastojanjem između lampi?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 15. Normalna projekcija prave, ugao između prave i ravni — koliko visoko te podignu pokretne stepenice?