Odnosi dve ravni — kada dva reza hleba daju krišku, a kada klin?

Tri položaja dve ravni (poklapaju se, nemaju zajedničkih tačaka, seku se po pravoj); zašto dve različite ravni ne mogu imati samo jednu zajedničku tačku; paralelne ravni oko nas i strane kvadra; ravan koja seče dve paralelne ravni seče ih po paralelnim pravama, i uglovi koje tada gradi prava te ravni; prave u dve paralelne ravni.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/272

Video

Kad sečeš tost hleb, svaki rez nožem je deo jedne ravni. Zašto dva reza nekad daju krišku, a nekad klin? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Tri položaja dve ravni: Svaki rez nožem kroz hleb je deo jedne ravni. Ako ravni dva reza nemaju nijednu zajedničku tačku, između rezova je kriška: pišemo $\alpha \cap \beta = \varnothing$ i kažemo da su ravni paralelne, $\alpha \parallel \beta$. Ako rezovi nisu paralelni (jedan je nagnut prema drugom), ravni rezova seku se po jednoj pravoj $p$: $\alpha \cap \beta = p$ (ta prava može biti i van hleba — ako je u hlebu, dobijamo klin čija je oštra ivica na pravoj $p$). Ako nož drugi put prođe kroz isti rez, ravni se poklapaju: $\alpha \equiv \beta$. Kao i kod pravih, i ravni koje se poklapaju zovemo paralelnim. Četvrtog položaja nema: reč „mimoilazne“ koristimo samo za prave.
Zašto se ravni seku baš po pravoj: Prihvatamo bez dokaza: ako dve različite ravni imaju jednu zajedničku tačku, imaju i bar još jednu. Prava kroz te dve tačke leži u obe ravni, jer cela prava pripada ravni čim joj pripadaju dve njene tačke. Zajedničku tačku van te prave ravni ne mogu da imaju: tada bi imale tri zajedničke tačke koje nisu na jednoj pravoj, a takve tačke određuju samo jednu ravan — ravni bi se poklopile. Zato dve različite ravni imaju ili nijednu zajedničku tačku, ili tačno jednu zajedničku pravu. Listovi otvorene knjige su delovi ravni koje prolaze kroz istu pravu (hrbat), pa se svake dve od njih seku baš po toj pravoj.
Paralelne ravni oko nas: Vodoravne police u ormanu su u paralelnim ravnima, kao i gornja i donja strana kutije cipela. Kvadar ima šest strana: ravni dve naspramne strane su paralelne, a ravni dve susedne strane seku se po pravoj na kojoj je njihova zajednička ivica. Prihvatamo bez dokaza: ako su dve ravni paralelne trećoj, paralelne su i međusobno. Zato su sve police, koje su paralelne podu, paralelne i jedna drugoj.
Ravan koja seče dve paralelne ravni: Uspravna bočna stranica ormana dodiruje dve vodoravne police duž dve prave. Te prave su paralelne: obe leže u ravni bočne stranice, a zajedničku tačku nemaju, jer je svaka u ravni svoje police, a ravni polica nemaju zajedničkih tačaka. Dve prave iste ravni bez zajedničkih tačaka su paralelne. Isto važi uvek: kad jedna ravan seče dve paralelne ravni, prave preseka su paralelne. Zato je svaka prava te ravni koja seče jednu pravu preseka (a nije joj paralelna) transverzala obe, pa sa njima gradi uglove kao na transverzali: ako nije normalna na njih, oštri uglovi su jednaki, tupi su jednaki, a oštar i tup zajedno daju $180^\circ$.
Prave u dve paralelne ravni: Prava nacrtana na gornjoj polici i prava nacrtana na donjoj polici nikad se ne seku, jer police nemaju zajedničkih tačaka. Zato su takve dve prave ili paralelne (prednje ivice dve police), ili mimoilazne (prednja ivica jedne police i bočna ivica druge).

Formule

Paralelne ravni

\alpha \parallel \beta: \quad \alpha \cap \beta = \varnothing \ \text{ili} \ \alpha \equiv \beta

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\alpha \cap \beta$	presek: zajedničke tačke ravni	—

Ravni bez zajedničkih tačaka i ravni koje se poklapaju.

Ravni koje se seku

\alpha \cap \beta = p

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$p$	prava preseka	—

Dve različite ravni sa zajedničkom tačkom imaju tačno jednu zajedničku pravu.

Ravan seče dve paralelne ravni

\alpha \parallel \beta, \ \gamma \cap \alpha = a, \ \gamma \cap \beta = b \ \Rightarrow \ a \parallel b

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$a, b$	prave po kojima $\gamma$ seče $\alpha$ i $\beta$	—

Prave preseka su u ravni $\gamma$ i nemaju zajedničkih tačaka.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koliko zajedničkih tačaka mogu da imaju dve različite ravni?

2. Ravni $\alpha$ i $\beta$ imaju tri zajedničke tačke koje nisu na jednoj pravoj. Šta važi za te ravni?

3. Šta znači zapis $\alpha \cap \beta = p$?

4. Kada za dve ravni kažemo da su paralelne?

5. Dva reza hleba seku se i daju klin. Gde se sreću ravni ta dva reza?

6. Kroz pravu $p$ prolaze tri različite ravni. Po kojoj pravoj se seku bilo koje dve od njih?

7. Vodoravne police u ormanu su u ravnima paralelnim podu. Kakve su ravni dve police međusobno?

8. Tri paralelna reza hleba leže u ravnima koje seku ravan daske po trima pravama. Kakve su te prave?

9. Ravan $\gamma$ seče paralelne ravni $\alpha$ i $\beta$ po pravama $a$ i $b$. Prava $c$ iz ravni $\gamma$ seče pravu $a$ pod oštrim uglom od $40^\circ$, a seče i pravu $b$. Pod kojim oštrim uglom $c$ seče $b$?

10. Ravni dve susedne strane kvadra seku se po pravoj na kojoj je:

Rešeni zadaci

Zadatak 1

U fascikli od tankog kartona su papiri. U kakvom su položaju ravni njene dve korice kad je fascikla zatvorena, kad je napola otvorena i kad je otvorena do kraja i položena na sto?

zatvorena: paralelne

Između korica su papiri, pa se korice ne dodiruju — ravni nemaju zajedničkih tačaka.
napola otvorena: seku se

Ravni korica imaju zajedničku pravu — onu na kojoj je pregib fascikle.
položena na sto: poklapaju se

Obe korice leže u ravni stola, pa su njihove ravni ista ravan.

Odgovor: paralelne, seku se, poklapaju se

Zadatak 2

Na kocki $KLMNK_1L_1M_1N_1$ (donja osnova $KLMN$, iznad nje $K_1L_1M_1N_1$) ravan $\pi$ prolazi kroz temena $K$, $L$ i $M_1$. Po kojim pravama ona seče ravni donje i gornje osnove i kakve su te prave?

$N_1$ je u ravni $\pi$

Ivice $KL$ i $N_1M_1$ su paralelne (obe su paralelne sa $NM$), pa određuju ravan; ona sadrži $K$, $L$ i $M_1$, pa je to baš ravan $\pi$.
donja osnova: prava $KL$

Ravan $\pi$ i ravan donje osnove imaju zajedničke tačke $K$ i $L$, pa se seku po pravoj $KL$.
gornja osnova: prava $N_1M_1$

Zajedničke tačke ravni $\pi$ i ravni gornje osnove su $N_1$ i $M_1$.
$KL \parallel N_1M_1$

Ravni osnova su paralelne, pa ih ravan $\pi$ seče po paralelnim pravama.

Odgovor: po pravama $KL$ i $N_1M_1$, koje su paralelne

Zadatak 3

Ravan $\gamma$ seče paralelne ravni $\alpha$ i $\beta$ po pravama $a$ i $b$. Prava $c$ leži u ravni $\gamma$ i seče pravu $a$ u tački $A$, a pravu $b$ u tački $B$. Kod tačke $A$ jedan od uglova između $c$ i $a$ je $70^\circ$. Koliki su uglovi između $c$ i $b$ kod tačke $B$?

$a \parallel b$

Ravan $\gamma$ seče dve paralelne ravni, pa su prave preseka paralelne.
$c$ je transverzala

Prave $a$, $b$ i $c$ su u istoj ravni $\gamma$, a $c$ seče obe paralelne prave.
$70^\circ$ i $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Oštri uglovi kod $A$ i kod $B$ su jednaki, a tup ugao je uporedan oštrom.

Odgovor: dva ugla od $70^\circ$ i dva od $110^\circ$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Uspravan bočni zid stepeništa seče vodoravnu ravan poda prizemlja po pravoj $a$, a vodoravnu ravan poda prvog sprata po pravoj $b$. Na zidu je uz stepenice nacrtana kosa prava linija $c$ koja seče pravu $a$ u tački $A$, a pravu $b$ u tački $B$. Tup ugao između linije $c$ i prave $a$ kod tačke $A$ je $136^\circ$. Koliki je oštar ugao između $c$ i $b$ kod tačke $B$?

Zadatak 2

Prava $p$ leži u ravni $\alpha$ i nema zajedničkih tačaka sa ravni $\beta$. Ravni $\alpha$ i $\beta$ seku se po pravoj $s$. U kakvom su položaju prave $p$ i $s$?

Zadatak 3

Ravni $\alpha$ i $\beta$ su paralelne i različite. Prava $a$ leži u $\alpha$, prava $b$ leži u $\beta$, i $a \parallel b$. Paralelne prave $a$ i $b$ određuju ravan $\gamma$. U kakvom su položaju ravni $\gamma$ i $\alpha$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 2 od 3 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 14. Normalna projekcija tačke i duži na ravan — zašto je žičara na karti kraća nego u stvarnosti?