Priprema, analiza i prezentacija podataka — kako nacrtati kružni dijagram omiljene muzike?

Kružni dijagram (ugao isečka = učestalost : ukupno · 360°, numerička i procentualna raspodela, 1 % = 3,6°) i njegovo crtanje šestarom i uglomerom; stubičasti dijagram (visina srazmerna vrednosti, osa od nule, prekinuta osa zavarava); kada koji dijagram; priprema podataka (nedostajući podaci, jedinice, brojčani i nebrojčani podaci); analiza po grupama i zaključak koji odgovara na cilj (većina = više od polovine).

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/259

Video

U odeljenju od dvadeset četiri učenika devetoro najviše voli pop muziku, petoro rok, šestoro narodnu, a četvoro klasičnu. Kako to prikazati jednom slikom koju svi odmah razumeju? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Kružni dijagram: Kružni dijagram prikazuje kako se jedna celina deli na delove: ceo krug je cela grupa ispitanika, a svaki isečak jedan odgovor. Ugao isečka je centralni ugao srazmeran učestalosti: $\alpha = \frac{f}{n} \cdot 360^\circ$; grupa koja čini trećinu ispitanika dobija isečak od $120^\circ$. Obrnuto, iz ugla dobijamo deo grupe $\frac{\alpha}{360^\circ}$, pa je $f = \frac{n \cdot \alpha}{360^\circ}$ i $n = \frac{f \cdot 360^\circ}{\alpha}$. U isečak upisujemo broj ispitanika (numerička raspodela) ili procenat $p = \frac{f}{n} \cdot 100\%$ (procentualna raspodela); jednom procentu odgovara $3{,}6^\circ$. Kružni dijagram ima smisla samo kad svaki ispitanik daje tačno jedan odgovor — inače bi zbir prešao $100\%$.
Kako se crta kružni dijagram: Prvo izračunamo uglove svih isečaka i proverimo da im je zbir $360^\circ$. Zatim šestarom nacrtamo krug i povučemo jedan poluprečnik. Od njega uglomerom nanosimo uglove isečaka jedan za drugim, uvek od kraka prethodnog isečka. Na kraju isečke obojimo i napišemo naslov i legendu — koja boja je koji odgovor.
Stubičasti dijagram: Svaki odgovor (ili svaki ispitanik) dobija stub iste širine; na osi pišemo brojeve i jedinicu. Osa obično počinje od nule, i tada je visina stuba srazmerna vrednosti. Ponekad se namerno prekine i počne od većeg broja, ali to mora jasno da se označi, jer tada mala razlika izgleda kao velika: ako osa za dužine skoka počne od $280$ cm, skok od $300$ cm izgleda dvaput duži od skoka od $290$ cm. Za poređenje dve grupe stavimo po dva stuba, npr. golove svake ekipe u prvom i u drugom poluvremenu, uz legendu.
Kada koji dijagram: Tabelu sa mnogo redova teško je pročitati, a dobar dijagram za tren pokaže šta je najčešće i šta najređe. Koristan je nama — da uočimo šta se ističe — i onima kojima predstavljamo rezultate. Kružni dijagram biramo kad pokazujemo kako se jedna celina deli na delove, a stubičasti kad poredimo vrednosti (ko koliko ima) ili kad vrednosti nisu delovi iste celine, na primer visine ili rezultati pojedinaca.
Priprema podataka: Pre računanja i crtanja proveravamo tabelu. Podatak koji nedostaje ne smemo da računamo kao nulu: red sa njim izostavimo ili podatak razumno procenimo, i to napišemo uz rezultat. Svi podaci iste vrste moraju biti u istoj jedinici (sve dužine skoka u centimetrima), a kolone sa brojevima razlikujemo od kolona sa odgovorima rečima (npr. „pop“, „rok“), jer srednju vrednost i medijanu računamo samo za brojeve.
Analiza i zaključak: U četvrtom koraku računamo učestalosti i procente, srednju vrednost, medijanu i mod — za sve ispitanike i posebno po grupama, pa grupe poredimo. U petom koraku pišemo zaključak koji odgovara baš na pitanje iz cilja i kažemo koliko je bilo ispitanika. Pazimo na reči: većina znači više od polovine, pa najčešći odgovor ne mora biti većina. Zaključak na osnovu pet odgovora mnogo je nesigurniji nego na osnovu pet stotina.

Formule

Ugao isečka kružnog dijagrama

\alpha = \frac{f}{n} \cdot 360^\circ = p \cdot 3{,}6^\circ

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$f$	učestalost odgovora	—
$n$	broj ispitanika	—
$p$	procenat odgovora (broj bez znaka %)	—
$\alpha$	ugao isečka	°

Obrnuto: $f = \frac{n \cdot \alpha}{360^\circ}$, $n = \frac{f \cdot 360^\circ}{\alpha}$. Zbir uglova svih isečaka je $360^\circ$.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Koji postupak je ispravan kad u tabeli nedostaje neki podatak?

2. Koji dijagram je najpogodniji da pokaže kako se jedna celina deli na delove?

3. Od $45$ ispitanika $10$ ima isti odgovor. Koliki je ugao njegovog isečka?

4. Koliki je zbir uglova svih isečaka kružnog dijagrama?

5. Koliki ugao u kružnom dijagramu odgovara $1\%$?

6. Šta mora da se uradi kad osa stubičastog dijagrama ne počinje od nule?

7. Osa stubičastog dijagrama počinje od nule. Šta je visina stuba?

8. Isečak kružnog dijagrama ima $45^\circ$. Koji deo ispitanika prikazuje?

9. Na šta mora da odgovori zaključak istraživanja?

10. Odgovor je najčešći, ali ga je dalo $38\%$ ispitanika. Šta je tačno?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Od $24$ učenika $9$ najviše voli pop, $5$ rok, $6$ narodnu i $4$ klasičnu muziku. Izračunaj uglove isečaka kružnog dijagrama.

$\frac{9}{24} \cdot 360^\circ = 135^\circ, \quad \frac{5}{24} \cdot 360^\circ = 75^\circ$

Pop i rok.
$\frac{6}{24} \cdot 360^\circ = 90^\circ, \quad \frac{4}{24} \cdot 360^\circ = 60^\circ$

Narodna i klasična.
$135^\circ + 75^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 360^\circ$

Provera: ceo krug.

Odgovor: $135^\circ$, $75^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$

Zadatak 2

Muziku najčešće sluša telefonom $55\%$ učenika, preko radija $15\%$, a ostali na računaru. Koliki je ugao isečka „računar“?

$100\% - 55\% - 15\% = 30\%$

Ostatak do $100\%$.
$30 \cdot 3{,}6^\circ = 108^\circ$

Jedan procenat je $3{,}6^\circ$.

Odgovor: $108^\circ$

Zadatak 3

Dužine skoka u dalj pet učenika (u cm) su $312$, $287$, $\_$, $301$ i $296$; jedan podatak nedostaje. Kolika je srednja vrednost poznatih dužina?

$\frac{312 + 287 + 301 + 296}{4} = \frac{1\,196}{4} = 299$

Prazno polje izostavimo i delimo sa $4$, ne sa $5$.
podatak ne upisujemo kao $0$

Sa nulom bi bilo $1\,196 : 5 = 239{,}2$ cm — manje od svih skokova.

Odgovor: $299$ cm (za $4$ učenika)

Zadatak 4

Isečak kružnog dijagrama za odgovor „šah“ ima $48^\circ$, a anketirano je $60$ učenika. Koliko njih najviše voli šah?

$\frac{48^\circ}{360^\circ} = \frac{2}{15}$

Deo kruga.
$60 \cdot \frac{2}{15} = 8$

Isti deo od $60$ učenika.

Odgovor: $8$ učenika

Zadatak 5

Na kvizu su četiri učenika koji vežbaju svaki dan osvojila $18$, $22$, $20$ i $24$ boda, a troje koji ne vežbaju $15$, $12$ i $15$ bodova. Uporedi grupe srednjom vrednošću i medijanom.

$\bar{x}_A = \frac{84}{4} = 21, \quad M_e = \frac{20 + 22}{2} = 21$

Grupa koja vežba (poređano: $18, 20, 22, 24$).
$\bar{x}_B = \frac{42}{3} = 14, \quad M_e = 15$

Grupa koja ne vežba (poređano: $12, 15, 15$).
$\bar{x} = \frac{126}{7} = 18$

Svih sedmoro zajedno — to nije $\frac{21 + 14}{2}$, jer grupe nisu iste veličine.

Odgovor: prva grupa je bolja po oba obeležja, ali su grupe male

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Odgovori na pitanje „Šta najradije radiš za vreme velikog odmora?“ su: „igram se napolju“: $2$; „razgovaram“: $14$; „čitam“: $14$; „užinam“: $15$. Svako je dao jedan odgovor. Koliki ugao ima isečak „razgovaram“ u kružnom dijagramu (u stepenima)?

Zadatak 2

Na stubičastom dijagramu odgovora na pitanje „Kako najčešće provodiš vikend?“ visina od $1$ cm znači $10$ ispitanika. Stubovi su visoki: „u prirodi“: $0{,}4$ cm; „uz knjigu“: $0{,}9$ cm; „sa drugarima“: $1{,}2$ cm; „uz igrice“: $0{,}6$ cm. Koliko je ispitanika više odgovorilo „uz knjigu“ nego „uz igrice“?

Zadatak 3

Kružni dijagram ima četiri isečka. Tri od njih imaju uglove $144^\circ$, $54^\circ$ i $144^\circ$. Koliki procenat ispitanika prikazuje četvrti isečak?

Zadatak 4

Za koje podatke je kružni dijagram najpogodniji?

Zadatak 5

U koloni „trajanje treninga (min)“ stoje vrednosti $45$, $60$, $0{,}75$, $50$ i $90$. Šta je najverovatnije greška i kako je ispravljamo?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Još časova: Proporcionalnost duži — na koliko jednakih komada stolar može da iseče dve letvice? · Srednja vrednost, medijana i mod — koliki je „uobičajen“ džeparac u društvu?