Srednja vrednost, medijana i mod — koliki je „uobičajen“ džeparac u društvu?

Statistička obeležja koja jednom vrednošću opisuju podatke: srednja vrednost (zbir : broj podataka), medijana (srednji podatak u poređanom nizu; kod parnog broja podataka srednja vrednost dva srednja), mod (najčešća vrednost, može ih biti više, postoji i za nebrojčane podatke); obeležja iz tabele učestalosti; nepoznat podatak iz srednje vrednosti; uticaj jedne izuzetne vrednosti.

Nikola Stanković

Čas nije dostupan za štampu. Otvori ga na sajtu: https://dopetice.com/cas/258

Video

Sedmoro drugova je reklo koliko dinara džeparca dobija nedeljno: petsto, šeststo, šeststo, sedamsto, osamsto, devetsto i pet hiljada. Koji jedan broj najbolje kaže koliki je „uobičajen“ džeparac u tom društvu? Pogledaj video, pa nastavi čas.

Pojmovi

Jedna vrednost za mnogo podataka: Statistička obeležja jednom vrednošću opisuju ceo skup podataka. Učimo tri: srednju vrednost, medijanu i mod. Svako odgovara na malo drugačije pitanje — „koliko bi bilo kad bi svi imali isto“, „šta je tačno u sredini“ i „šta se najčešće javlja“ — pa za iste podatke mogu da se razlikuju.
Srednja vrednost: Srednja vrednost (aritmetička sredina, prosek) je zbir svih podataka podeljen brojem podataka: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$. To je vrednost koju bi svako imao kad bismo ukupan zbir podelili na jednake delove. Jedan podatak koji mnogo odskače „vuče“ srednju vrednost ka sebi, pa ona tada može biti veća (ili manja) od skoro svih podataka. Ako svaki podatak povećamo za isti broj, i srednja vrednost se poveća za taj broj.
Medijana: Medijana $M_e$ je podatak koji je tačno u sredini kad podatke poređamo po veličini: ispred nje je isto toliko podataka koliko i iza nje. Kod neparnog broja podataka to je srednji podatak; kod parnog broja to je srednja vrednost dva srednja podatka. Na primer, podaci $11, 2, 8, 5, 3$ poređani po veličini glase $2, 3, 5, 8, 11$, pa je $M_e = 5$. Kad podataka ima bar tri, medijana se ne menja ako najveći podatak još povećamo — zato bolje od srednje vrednosti opisuje „uobičajenu“ vrednost kad neki podatak jako odskače.
Mod: Mod $M_o$ je vrednost koja se javlja najčešće; za $7, 8, 8, 10$ mod je $8$. Mod može da ne bude jedan: ako se dve ili više vrednosti javljaju podjednako najčešće, sve su modovi. Mod je jedino od ta tri obeležja koje se može odrediti i za nebrojčane podatke (npr. omiljeni filmski žanr), za koje srednju vrednost i medijanu ne možemo da računamo.
Tabela učestalosti: Kad se iste vrednosti često ponavljaju, podatke damo tabelom: uz svaku vrednost piše koliko puta se javlja. Zbir podataka je tada zbir proizvoda „vrednost puta učestalost“, a broj podataka je zbir učestalosti. Za medijanu saberemo učestalosti redom, od najmanje vrednosti, dok ne stignemo do srednjeg mesta; mod je vrednost sa najvećom učestalošću.
Nepoznat podatak iz srednje vrednosti: Iz srednje vrednosti možemo da dobijemo zbir: zbir je srednja vrednost puta broj podataka. Ako je srednja vrednost četiri merenja $15$, njihov zbir je $4 \cdot 15 = 60$. Kad znamo zbir svih i zbir poznatih podataka, nepoznati podatak je njihova razlika.

Formule

Srednja vrednost

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$\bar{x}$	srednja vrednost	—
$x_1, \dots, x_n$	podaci	—
$n$	broj podataka	—

Zbir podataka je $n \cdot \bar{x}$.

Medijana

M_e = x_{\frac{n+1}{2}} \ (n \text{ neparno}), \qquad M_e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \ (n \text{ parno})

Oznaka	Šta znači	Jedinica
$M_e$	medijana	—
$x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq	podaci poređani po veličini	—
$n$	broj podataka	—

Na primer, za $n = 7$ medijana je $x_4$, a za $n = 8$ srednja vrednost $x_4$ i $x_5$. Mod $M_o$: najčešća vrednost.

Pitanja

Pitanje 1 od 10

1. Šta pokazuje srednja vrednost podataka?

2. Šta moramo prvo da uradimo da bismo našli medijanu?

3. Kolika je medijana podataka $3, 8, 5, 10, 6$?

4. Kolika je medijana podataka $4, 6, 9, 21$?

5. Koji je mod podataka $12, 15, 12, 18, 15, 12$?

6. Za koje podatke možemo odrediti samo mod?

7. Tabela učestalosti: vrednost $1$: $3$ učenika; vrednost $2$: $5$ učenika; vrednost $3$: $2$ učenika. Koliko podataka ima ukupno?

8. Šta se dešava sa srednjom vrednošću kad jedan podatak bude mnogo veći od ostalih?

9. Podaci su $2, 2, 3, 3, 4$. Koliko modova imaju?

10. Podataka ima bar tri. Koje obeležje se ne menja kad najveći podatak još povećamo?

Rešeni zadaci

Zadatak 1

Džeparci sedmoro drugova (u dinarima) su $500$, $600$, $600$, $700$, $800$, $900$ i $5\,000$. Odredi srednju vrednost, medijanu i mod.

$\bar{x} = \frac{9\,100}{7} = 1\,300$

Zbir podataka podeljen sa $7$.
$M_e = 700$

Podaci su već poređani; četvrti od sedam je u sredini.
$M_o = 600$

Jedino se $600$ javlja dvaput.

Odgovor: $\bar{x} = 1\,300$, $M_e = 700$, $M_o = 600$ dinara

Zadatak 2

Košarkašica je na šest utakmica postigla $14$, $9$, $21$, $12$, $9$ i $19$ poena. Kolika je medijana?

$9, 9, 12, 14, 19, 21$

Poređamo po veličini.
$M_e = \frac{12 + 14}{2} = 13$

Šest podataka: srednja vrednost trećeg i četvrtog.

Odgovor: $13$ poena

Zadatak 3

Srednja masa šest paketa je $9$ kg. Pet paketa ima mase $7$, $12$, $8$, $10$ i $11$ kg. Kolika je masa šestog?

$6 \cdot 9 = 54$

Zbir masa svih šest paketa.
$7 + 12 + 8 + 10 + 11 = 48$

Zbir poznatih masa.
$54 - 48 = 6$

Masa šestog paketa.

Odgovor: $6$ kg

Zadatak 4

Omiljeni filmski žanr deset učenika: komedija, avantura, crtani, komedija, avantura, komedija, igrani, avantura, komedija, avantura. Šta možemo da odredimo?

komedija: $4$, avantura: $4$, crtani: $1$, igrani: $1$

Prebrojimo odgovore.
dva moda: komedija i avantura

Dva odgovora se javljaju podjednako najčešće; srednja vrednost i medijana ovde nemaju smisla.

Odgovor: samo mod (dva moda)

Zadatak 5

Svaki od $20$ učenika bacio je loptu četiri puta na koš. Nijedan pogodak imala su $3$ učenika, jedan pogodak $7$, dva pogotka $4$, tri pogotka $3$, a četiri pogotka $3$ učenika. Odredi srednju vrednost, medijanu i mod broja pogodaka.

$0 \cdot 3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 36, \quad \bar{x} = \frac{36}{20} = 1{,}8$

Zbir proizvoda „vrednost puta učestalost“, podeljen sa $20$.
1. do 3. podatak: $0$; 4. do 10.: $1$; 11. do 14.: $2$

Srednji su $10$. i $11$. podatak; sabiramo učestalosti redom.
$M_e = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5, \quad M_o = 1$

Medijana od dva srednja podatka; mod je vrednost sa najvećom učestalošću ($7$).

Odgovor: $\bar{x} = 1{,}8$, $M_e = 1{,}5$, $M_o = 1$

Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.

Zadatak 1

Učenici su zapisali koliko su golova postigli na školskom turniru: broj $0$: $7$ učenika; broj $1$: $1$ učenik; broj $2$: $6$ učenika; broj $3$: $6$ učenika; broj $4$: $4$ učenika; broj $5$: $1$ učenik. Kolika je srednja vrednost tih podataka? (Upiši tačnu vrednost, bez zaokruživanja.)

Zadatak 2

Učenici su odgovorili koliko braće i sestara imaju: broj $0$: $3$ učenika; broj $1$: $5$ učenika; broj $2$: $4$ učenika; broj $3$: $4$ učenika. Kolika je medijana tih podataka?

Zadatak 3

Koliko minuta je juče uz ekran provelo svako od 5 učenika: 43, 34, 31, 125, 36. Za koliko je srednja vrednost tih podataka veća od medijane?

Zadatak 4

Srednja vrednost četiri broja je $6$. Svaki od njih povećamo za $3$. Kolika je srednja vrednost novih brojeva?

Zadatak 5

Koje poređenje važi za podatke $2, 2, 3, 6, 12$?

Bravo, čas je završen!

—pitanja iz prve

—zadataka na testu

Želiš sertifikat? Napravi besplatan nalog, pa uradi test još jednom (treba bar 3 od 5 tačno). Rezultati se tada čuvaju, a sertifikat možeš da odštampaš ili podeliš.

Napravi besplatan nalog

Sledeći čas: 41. Priprema, analiza i prezentacija podataka — kako nacrtati kružni dijagram omiljene muzike?