Rotacija — za koji ugao se okrene panoramski točak dok kabina ne stigne na mesto susedne kabine?

🎬 Video

📖 Pojmovi

Kabina na točku

Kabina panoramskog točka putuje po kružnom luku oko osovine i sve vreme je jednako udaljena od nje. Takvo pomeranje zovemo rotacija: rotacija oko tačke $O$ za ugao $\alpha$ svaku tačku $A$ preslikava u tačku $A_1$ za koju je $OA_1 = OA$ i $\angle AOA_1 = \alpha$. Tačka $O$ je centar rotacije i ostaje na mestu pri svakoj rotaciji; ostale tačke se pomeraju, osim kad je ugao pun krug ili umnožak punog kruga.

Smer rotacije

Isti ugao možemo naneti na dve strane, pa uz ugao kažemo i smer okretanja. Dogovor je ovakav: okretanje suprotno od kretanja kazaljke na satu je pozitivno, a okretanje u smeru kazaljke negativno, pa takav ugao pišemo sa minusom. Kad piše samo „rotacija za $40^\circ$“, misli se na pozitivan smer. Kazaljke sata se okreću u negativnom smeru: velika za $15$ minuta za $-90^\circ$, a mala svakog sata za $-30^\circ$, odnosno svakog minuta za $-0{,}5^\circ$.

Konstrukcija slike

Slika $T_1$ tačke $T$ pri rotaciji oko $S$ za $\alpha$ mora biti na kružnici sa centrom $S$ kroz $T$ (jer je $ST_1 = ST$) i na kraku ugla $\alpha$ nanesenog od poluprave $ST$. Zato šestarom opišemo tu kružnicu, od poluprave $ST$ nanesemo ugao $\alpha$ u zadatom smeru (ugao od $60^\circ$ dobijamo iz jednakostraničnog trougla, a $90^\circ$ kao normalu), i presek drugog kraka sa kružnicom je $T_1$. Mnogougao rotiramo tako što rotiramo sva njegova temena i spojimo ih istim redom.

Šta rotacija čuva

Neka rotacija oko $S$ za $\alpha$ preslika duž $KL$ u duž $K_1L_1$. Obe poluprave $SK$ i $SL$ okrenu se za isti ugao $\alpha$, pa ugao između njih ostane isti: $\angle KSL = \angle K_1SL_1$. Pošto je još $SK = SK_1$ i $SL = SL_1$, trouglovi $KSL$ i $K_1SL_1$ su podudarni (SUS), pa je $KL = K_1L_1$. (Ako su $K$, $S$ i $L$ na istoj pravoj, jednakost se vidi odmah.) Zato rotacija čuva dužine i uglove: trougao se preslikava u podudaran trougao, a krug u krug istog poluprečnika čiji je centar slika starog centra.

Posebni uglovi i uzastopne rotacije

Pri rotaciji za $180^\circ$ tačke $A$, $O$ i $A_1$ su na istoj pravoj i $OA = OA_1$, pa je $O$ središte duži $AA_1$ — to je centralna simetrija u odnosu na $O$. Rotacija za $360^\circ$ vraća svaku tačku na njeno mesto, pa je rotacija za $-90^\circ$ isto što i za $270^\circ$. Dve uzastopne rotacije oko istog centra, za $\alpha$ pa za $\beta$, daju jednu rotaciju za $\alpha + \beta$ (ako treba, dodamo ili oduzmemo $360^\circ$).

Rotaciona simetrija

Pravilni $n$-tougao se rotacijom oko svog centra za $\frac{360^\circ}{n}$ preslikava sam u sebe: svako teme dođe na mesto susednog. Isto važi za svaki umnožak tog ugla; pravilni petougao, na primer, za $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ i $288^\circ$. Ako su temena $A_1, A_2, \ldots, A_n$ obeležena u pozitivnom smeru, rotacija za $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$ dovodi teme $A_1$ na mesto temena $A_{1+k}$, a rotacija u negativnom smeru vodi ga unazad: $A_1 \to A_n \to A_{n-1} \to \ldots$

Rotacija u koordinatnom sistemu

Rotacija oko koordinatnog početka $O$ za $90^\circ$ preslikava tačku $T(x, y)$ u tačku $T_1(-y, x)$, rotacija za $-90^\circ$ u $(y, -x)$, a rotacija za $180^\circ$ u $(-x, -y)$. Razlog: pri rotaciji za $90^\circ$ tačka $(x, 0)$ pređe u $(0, x)$, a tačka $(0, y)$ u $(-y, 0)$ — pomeranje udesno za $x$ i naviše za $y$ postaje pomeranje naviše za $x$ i ulevo za $y$. Na primer, $(4, 1)$ posle rotacije za $90^\circ$ postaje $(-1, 4)$.

🧮 Formule

❓ Pitanja

✏️ Rešeni zadaci

📝 Test

Kod računskih zadataka reši u svesci i upiši rezultat (decimalni broj sa zarezom, npr. 2,5), a kod ostalih izaberi tačan odgovor.